Сборник методических указаний для студентов по выполнению практических работ дисциплина «Элементы высшей математики» (стр. 43 )

Дифференциал длины дуги. Длина дуги кривой определяется формулой:

где y=f(x) [a; b]. Предположим, что в этой формуле нижний передел интегрирования остается постоянным, а верхний изменяется. Обозначим верхний предел буквой х, а переменную интегрирования буквой t. Длина дуги будет функцией верхнего предела:

Пример. Вычислить длину дуги кривой , заключенной между точками, для которых .

Решение. Из условия задачи имеем . По формуле получаем:

.

Объем тела вращения

Пусть криволинейная трапеция, ограниченная графиком непрерывной на отрезке функции , осью , прямыми и , вращается вокруг оси (рис. 2).

Рис.2

Тогда объем полученного тела вращения вычисляется по формуле

.

Пример. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси криволинейной трапеции, ограниченной гиперболой , прямыми , и осью .

Решение. Сделаем чертеж.

Из условия задачи следует, что , . По формуле получаем

.

Пример. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной линиями . Построить чертеж.

Решение.

В декартовой системе координат построим линии и найдем точки их пересечения.

Объем тела вращения по формуле

Точки пересечения линий

(второй вариант не подходит, т. к. отрицателен)

Отсюда

Границы фигуры:

Фигура симметрична относительно оси ОУ, поэтому

Объем тела

Пример. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной указанными линиями .

Решение:

Сделаем чертеж:

площадь объем

Объем тела вращения находится по формуле:

Ответ:

Объем тела, полученного вращением вокруг оси Оу криволинейной трапеции, ограниченной прямыми у = с и у = d, осью Оу и графиком непрерывной на отрезке функции (рис.3), определяется по формуле

.

х = j (у)

Рис. 3

Пример. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Оу криволинейной трапеции, ограниченной линиями х2 = 4у, у = 4, х = 0 (рис.).

Решение. В соответствии с условием задачи находим пределы интегрирования: , . По формуле получаем:

.

Вопросы для закрепления теоретического материала

к практическому занятию:

1.  Что такое длина дуги кривой?

2.  Формула вычисления длины дуги кривой.

3.  Графики элементарных функций.

4.  Как вычисляется объем тела по известным площадям поперечных сечений?

5.  Как вычисляется объем тела вращения, образованного вращением вокруг оси ОХ?

6.  Как вычисляется объем тела вращения, образованного вращением вокруг оси ОУ?

Задания для практического занятия:

Задание 1. Найти длины дуг кривых.

1. y= - x2+2x от вершины до точки с абциссой x=2.

2. y2=до точки с абциссой x=6.

3. y=lnx от x=√8 до x=√15.

4. y=1/2x2-4x+15/2, отсеченной осью ОХ.

5. y2=16x, отсеченной прямой х=4.

6. y2=9-х, у=-3, у=0.

7. у= 6х2+1, от х1= 0 до х2= 3.

8. Найти длину кривой r= 3(1- cos φ) в полярной системе координат.

9. Найти длину кривой r= √2sin φ в полярной системе координат.

10. Найти длину кривой r= 1/φ от φ = 3/4 до φ = 4/3 в полярной системе координат.

Задание 2. Найти объемы тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями.

1. у= -2х+3, х= 1, х= -1 вокруг оси ОХ.

2. у2=(х+1)3, х=0 вокруг оси ОУ.

3. у2=16-х, х=0 вокруг оси ОУ.

4. у=2sinx, х=0, х= вокруг оси ОХ.

5. Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси координат фигуры, ограниченной у=, х= 1, х= 4.

6. у2=4х, у2=х3 вокруг оси ОХ.

7. 3х-у=0, 3х-4у=0, у=3 вокруг оси ОХ.

8. 2у=16-х2, у-4=0, у=0 вокруг оси ОУ.

9. √х+√у=1, х=0,у=0 вокруг оси ОУ.

10. х2+у2=1 вокруг прямой х=2.

Инструкция по выполнению практической работы:

1.  Прочитайте краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы.

2.  Устно ответьте на вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию.

3.  Внимательно прочитайте условие каждой задачи. Определите, какие основные понятия, операции необходимо применить к данной задаче.

4.  Исходя из того, что известно по условию задачи, попробуйте найти неизвестные на черновике. Черновиком может служить рабочая тетрадь студента. Записывайте подробно, что Вы находите в каждом действии.

5.  Решив задачу на черновике (в рабочей тетради), попробуйте сформулировать к ней ответ. Ответ должен быть полным, развернутым.

6.  Проверьте правильность решения задачи, требования к проведению расчетов и использованию необходимых формул.

7.  Убедившись, что задача решена правильно на черновике (в рабочей тетради), аккуратно спишите ее в чистовик.

Методика анализа результатов, полученных в ходе практической работы:

- соблюдены все требования к проведению расчетов и использованию необходимых формул интегрального исчисления;

- использование технических средств для осуществления расчетов;

- использование чертежа для наглядного представления информации длин дуги кривой и объемов фигур;

- правильное решение задач интегрального исчисления.

Порядок выполнения отчета по практической работе:

Выполненная работа представляется преподавателю в рабочей тетради по дисциплине «Элементы высшей математики» или тетради для выполнения практических работ.

Раздел 1. Содержание основ элементов высшей математики

Тема 1.4. Основы дифференциального и интегрального исчисления

Название практической работы № 67-69. Решение дифференциальных уравнений (первого порядка, с разделяющимися переменными).

Учебная цель: формировать умение по решению дифференциальных уравнений первого порядка, с разделяющимися переменными.

Учебные задачи:

1.  Научиться решать дифференциальные уравнения первого порядка, с разделяющимися переменными.