Лекции по линейной алгебре (стр. 11 )

+ am⋅()+ am⋅ bn = .

Правило знаков. ∀ a, b ∈ K  (- a)b = a(- b) = - (ab).

Доказательство. 0=a(b+( – b))=ab+ a(- b) ⇒ a(- b)=- (ab).

Аналогично, (- a)b = - (ab).

  Следствия.

  1) Так как  -(- х)= х, то (-a)(-b) = - (a(-b)) = - (- (ab) = ab.

  2) Если  K? 1, то  a(- 1) = (- 1)a = - (1⋅ a) = - a.

  5.  Целые кратные элементов кольца.

Пусть по определению ∀n∈Z  na= при n∈N,

na = 0K, при  n = 0,  na = - ((-n)a) при  - n∈N.

Упражнения.

1)  Доказать, что ∀n∈Z  -(na) = (-n)a = n(- a).

2) Доказать, что ∀m, n∈Z, ∀ a, b ∈ K  n(a+b)=na +nb, 

(m+n)a = ma+na.

3)  Доказать, что ∀m, n∈Z, ∀ a∈ K  m(na)=(mn)a.

4)  Доказать, что ∀n∈Z, ∀ a, b ∈ K  n(ab)=(na)b = a(nb).

5)  Доказать, что ∀m, n∈Z, ∀ a, b ∈ K  (ma)(nb)=(mn)(ab). 

6)  Доказать, что если K? 1K, то na = (n 1K)a.

Замечание. Если ∀n∈Z, ∀ a∈ K  определить операцию

n⋅a = na, то свойства из упражнений 2), 3), 4), 6) означают, что кольцо K является унитарной алгеброй над Z.

  6. В  АКУ-кольце  ∀ a, b ∈ K  ∀ n∈N  справедлива фор­мула бинома Ньютона  (а + b)n = .

  Определение. Подмножество K1⊆ K  называется под­кольцом в K, если K1 само является кольцом относительно операций  K.

  Очевидно, в любом кольце K всегда существуют триви­альные подкольца  K  и {0}.

6.3. Делители нуля.

Определение. Если кольцо K? a, b такие, что ab = 0, но

a ≠ 0, b ≠ 0, то a называется левым делителем нуля, а b –

правым делителем нуля. Элемент кольца называется делите­лем нуля, если он является одновременно левым и правым делителем нуля. Если a - делитель нуля, то пишут:  a | 0.

  Очевидно, в коммутативном кольце множества делите­лей нуля, левых делителей нуля и правых делителей нуля совпадают.

  Аналогично, в коммутативном кольце  мы будем писать  a | с, если ∃ b ∈ K  такой, что ab = c.

  Если a | 1, то а – обратимый элемент кольца.

  Если K – поле, то ∀ a∈ K, a ≠ 0, из определения поля a |1.

  Примеры.

В кольце Z× Z  элементы вида (a,0) и (0,a) ∀ a≠ 0 (и

только такие) являются делителями нуля.

В кольце функций F[a, b] функция Дирихле D(x) и

1-D(x) – делители нуля, так как D(x)(1- D(x))= 0. Также  |sgn(x)|(1 - |sgn(x)|) = 0, (|x| - x)(|x| + x)= 0.

  Утверждение. Если  a | 1,  то  a  |  0.

  Действительно, если ∃ b ∈ K  такой, что ab = 1, то есть

b = a -1, и ∃ c∈ K, с≠ 0,  такой, что ac = 0, то b(ac) = b⋅0 = 0, но  (ba)c =1⋅с = с= 0 - противоречие.

  Следствие. В поле нет делителей нуля.

Лекция 12.

  6.4. Кольцо классов вычетов.

  Пусть Z - множество целых чисел, и m ∈ Z. Введем на Z бинарное отношение π  следующим образом:  для a, b∈ Z пусть по определению  aπb ⇔ a – b=km  при некотором k∈ Z. При  m ≠ 0 это означает, что  aπb ⇔ m |(a – b).

  Утверждение.  π - отношение эквивалентности на Z.

  Доказательство.

π - рефлексивно, так как  ∀ а∈Z  a – a = 0⋅m ⇒ a π a.

π - симметрично, так как  если a π b, то  a – b = km, k∈ Z ⇒

b – a =(-k)m, и  - k∈ Z ⇒  bπ a.

π - транзитивно, так как если a π b, и  bπ с, то  a – b = km, где k∈ Z, b – c = lm, где l∈ Z ⇒ (a – b) +(b – c) = a – c = (k+l)m, и  k+l∈ Z ⇒ a π с.

  Классы  эквивалентных элементов по отношению π мы будем обозначать clπ a  или (если ясно, какое π  имеется ввиду)  cl a или . Очевидно, clπ a = {b ∈Z | bπ a } =

= { b ∈Z | b – a = km для некоторого k ∈Z }=

= { b ∈Z | b – a ∈ mZ} = { b ∈Z | b ∈ a + mZ} = a + mZ.

  Так как π - отношение эквивалентности на Z, то Z разбива­ется на непересекающиеся классы эквивалентных элементов.

Фактормножество Z/π, то есть множество классов эквива­лентных элементов, мы будем обозначать Zm или Z/(m).

  Если b∈ cl a, то говорят, что b – представитель из cl a.

  Очевидно, при  m = 0  ∀ a  cl a = a,  а отношение эквивалентности – это отношение равенства. Таким образом, при m = 0  Zm =Z.

  Далее будем считать, что m ≠ 0.

  Если  a π b, то часто пишут a b(mod m) или a b(m), и говорят, что a и b сравнимы по модулю m. А классы эквива­лентных элементов называют классами вычетов по модулю m  или классами по модулю m. 

  Разделим  a и b на m  с остатком. Пусть  a = mq1 + r1,

b = mq2 + r2 , где  0 ≤ r1 m, 0 ≤ r2 m. Очевидно, a - r1= mq1,

то есть m|(a – r1) ⇒ = . Аналогично, =.

  Утверждение. = ⇔  r1= r2 .

  Доказательство. ⇐. Пусть r1= r2 . Тогда  == =.

⇒. Пусть =, и r1 ≠ r2, например, r1 >r2. Тогда ===

⇒  r1π r2 ⇒ m| (r1 - r2). Но  0 r1 - r2 m. Получили противо­речие, то есть r1= r2.

  Из утверждения мы получаем, что различных классов по модулю m ровно столько, сколько существует различных ос­татков от деления на m, то есть существует m различных классов, и  Zm = {,,,…,}.

  Очевидно, =, =, =, =.

  Зададим на Zm  структуру кольца.

Определим операции сложения и умножения так:

пусть  += ,⋅= .

  Докажем корректность нашего определения, то есть неза­висимость его от выбора представителей в классах.

  Пусть a1∈, b1∈, то есть =, =. Тогда