Лекции по линейной алгебре (стр. 43 )

= = diag(λ1,λ1,…,λn), причем все  λi∈ R. 

  Следствие 1. Эрмитовы формы  F  и  f  унитарно эквивалентны формам, имеющим канонический вид (см. п.24.5).

  Следствие 2. Две эрмитовы квадратичные формы канонического вида унитарно эквивалентны тогда и только тогда, когда их коэффициенты λ1,λ2,…,λn отличаются, может быть, лишь порядком.

  Следствие 3. Две эрмитовы квадратичные формы унитарно эквивалентны тогда и только тогда, когда их матрицы даже в различных ортонормированных базисах имеют одинаковые характеристические многочлены.

  Так как коэффициенты λ1,…,λn  формы F  – это собственные значения линейного оператора φ , то найти их можно, решая характеристическое уравнение для матрицы = ,

то  есть уравнение  det( -λE) = 0.  Векторы базиса

и′ = {и′1,…, и′n} – это собственные векторы линейного оператора φ, и  найти все и′i можно, решая однородные системы линейных уравнений  ( - λ iE)[x]= [0]. Различным собственным значениям соответствуют ортогональные друг другу собственные векторы, и, если dim Ker( - λ iE) = 1, то найденный вектор необходимо лишь нормировать, то есть разделить на его длину. Если же имеются одинаковые собственные значения, то есть кратные корни λi характеристического уравнения, то dim Ker( - λ iE)> 1, и найденную фундаментальную систему решений для СЛУ ( - λ iE)[x] = [0]  необходимо ортонормировать, например, по Граму-Шмидту. Затем, после нахождения базиса  и′  надо перейти к базису , заменив все векторы  и′1,…, и′n  на «комплексно сопряженные». 

27.2. Приведение пары форм.

  Рассмотрим линейное пространство  Lп  над полем С с ба-

зисом е. Пусть F, G – эрмитовы квадратичные формы, причем G > 0, а  f, g – соответствующие эрмитовы полуторалинейные формы. Так как g – эрмитова полуторалинейная положительно определенная функция, то можно считать, что g – скалярное произведение, g(x, y)= (x, y)g, а  Lп с этим скалярным произведением - унитарное пространство:  Lп = Нп. По доказанному в п.27.1, в унитарном пространстве  Нп  существует ортонормированный (в смысле скалярного произведения  g) базис u, в котором форма  F имеет канонический вид (а G имеет,  естественно,  нормальный вид). Если  в  этом  базисе вектор у =(y1,y2,…,yn), то  G(у)= |y1|2+|y2|2 +…+|yn|2 (так как базис  ортонормированный  в  смысле  g), и 

F(у)= λ1|y1|2+λ2|y2|2+…+ λn|yn|2. Соответственно, если в этом базисе вектор  z =(z1,z2,…,zn ), то g(у, z) = y1+ y2+…+yn,

f(y, z) = λ1y1+ λ2y2+…+λnyn.

  Таким образом, нами доказана

  Теорема. Для  любой  пары  эрмитовых квадратичных  форм  F  и  G,  G > 0, в линейном пространстве Lп над полем С  существует базис  и, в котором форма F имеет канонический вид, а  G имеет нормальный вид, то есть

= diag(λ1,λ1,…,λn)  – диагональная матрица, причем все  λi∈R, а =E. Это означает, что существует матрица  Т= перехода к новому базису  и  такая, что

Т t =  diag(λ1,λ1,…,λn),  Т t = Е.

  Так как коэффициенты λ1,…,λn  формы  F  – это собственные значения линейного оператора φ  с матрицей  = =, то найти их можно, решая характеристическое уравнение для (неизвестной) матрицы = , то есть уравнение

det( -λE) = 0. Но = Т t ,  Е = Т t,  и 

det(-λE) = det(Т t(– λ))= 0 ⇔  det(-λ)=0 – это уже уравнение для известных (заданных) матриц  и . Многочлен  = det(-λ)  называется характеристическим многочленом пары форм  F, G  (G > 0) а уравнение =0 называется характеристическим уравнением пары форм. Таким образом, для нахождения коэффициентов λ1,…,λn  формы F  нужно найти корни характеристическое уравнение пары форм. 

  Чтобы найти векторы базиса  и = {и1,…, иn}, надо найти собственные векторы линейного оператора φ, решая однородные системы линейных уравнений  ( - λiE)= [0]  (с

неизвестной матрицей в неизвестном базисе и). Заметим, что  в  качестве  решения  иi  мы  получим  набор  координат

(0,0,…,0,,0,…,0). Далее, ( -λiE)= Т t(-λi)=  =Т t(- λi)[x]′= [0] ⇔  (- λi)[x]′= [0] – это уже СЛУ с известными матрицами , , а  [x]′= . И решениями этой системы являются векторы «комплексно сопряженного» базиса .