Лекции по линейной алгебре (стр. 40 )

,  и  det = Мп-1⋅λп > 0.  Так

как  Мп-1>0, то λп> 0. Далее мы от  еп-1  перейдем к  ип-1,  f-ор - тогональному  к  Lп-2, и  получим λп-1> 0,  и т. д. В конце концов мы получим базис  и, в котором = diag(λ1,…, λn),

F(y) = λ1y12+…+λnyn2.  Так как все λi > 0, то  F > 0.

Лекция 36.

25. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

25.1. Приведение формы ортогональным преобразова-

нием координат.

  Пусть Еп евклидово пространство с ортонормированным базисом и,  F(x) – некоторая квадратичная форма с матрицей в базисе и  и  f(x, у) – соответствующая симметричная билинейная форма с матрицей = . Рассмотрим линейный оператор φ  с матрицей = .  Так как матрица - симметричная, то φ  - самосопряженный линейный оператор, φ* = φ . По теореме о структуре самосопряженного линейного оператора в  Еп  существует ортонормированный базис и′, в котором матрица оператора φ  диагональна:

= diag(λ1,λ2,…,λn). Пусть Т =. Тогда Т – ортогональная

матрица (так как по столбцам матрицы Т стоят координаты векторов  из  ортонормированного  базиса  и′), и, значит,

Т -1=Т t. Но = Т t Т = Т -1Т = = diag(λ1,λ2,…,λn). Следовательно, если в базисе и′  вектор v имеет координаты (y1,y2,…,yn),  то  форма  F  имеет  канонический  вид,

F(v)=λ1y12+λ2y22+…+ λnyn2.  Соответственно, если в этом базисе вектор w = (z1,…,zn ), то  f(v, w)=λ1y1z1+λ2y2z2+…+λnynzn. Таким образом, нами доказана

  Теорема. Для любой квадратичной формы  F(x) в евклидовом пространстве Еп  существует ортонормированный базис  и′, в котором форма  F  имеет канонический вид. Это означает, что существует ортогональная матрица Т перехода к новому базису  u′, в котором матрица формы F диагональна:

Т t Т = = diag(λ1,λ2,…,λn). Канонический вид формы F определен однозначно с точностью до перенумерации коэффициентов  λ1,λ2,…,λn.

  Следствие 1. Квадратичная форма  F  ортогонально эквивалентна форме, имеющей канонический вид (см. п.24.5).

  Следствие 2. Две квадратичные формы канонического вида ортогонально эквивалентны тогда и только тогда, когда их коэффициенты λ1,λ2,…,λn отличаются, может быть, лишь порядком.

  Следствие 3. Две квадратичные формы ортогонально эквивалентны тогда и только тогда, когда их матрицы даже в различных ортонормированных базисах имеют одинаковые характеристические многочлены.

  Так как коэффициенты λ1,…,λn  формы F  – это собственные значения линейного оператора φ , то найти их можно, решая характеристическое уравнение для матрицы = ,

то  есть уравнение  det( -λE) = 0.  Векторы базиса

и′ = {и′1,…, и′n} – это собственные векторы линейного оператора φ, и найти все и′i  можно, решая однородные системы линейных уравнений  ( - λ iE)[x]= [0]. Различным собственным значениям соответствуют ортогональные друг другу собственные векторы, и, если dim Ker( - λ iE) = 1, то найденный вектор необходимо лишь нормировать, то есть разделить на его длину. Если же имеются одинаковые собственные значения, то есть кратные корни λi характеристического уравнения, то dim Ker( - λ iE)> 1, и найденную фундаментальную систему решений для СЛУ ( - λ iE)[x] = [0]  необходимо ортонормировать, например, по Граму-Шмидту.

25.2. Приведение пары форм.

  Рассмотрим линейное пространство  Lп  над полем R с ба-

зисом е. Пусть F, G – квадратичные формы, причем G > 0, а  f, g – соответствующие симметричные билинейные формы. Так как g – симметричная билинейная положительно определенная функция, то можно считать, что g – скалярное произведение, g(x, y)= (x, y)g, а  Lп с этим скалярным произведением - евклидово пространство:  Lп = Еп. По доказанному в п.25.1, в евклидовом пространстве  Еп  существует ортонормированный (в смысле скалярного произведения  g) базис u, в котором форма  F имеет канонический вид (а G имеет, естественно, нормальный вид). Если в этом  базисе вектор

v =(y1,y2,…,yn), то  G(v)= y12+ y22 +…+yn2 (так как базис ортонормированный в смысле g), и  F(v) = λ1y12 +λ2y22 +…+λnyn2. Соответственно, если в этом базисе вектор w = (z1, z2,…,zn ), то g(v, w)=y1z1+ y2z2+…+ynzn,  f(v, w)=λ1y1z1+λ2y2z2+…+λnynzn.

  Таким образом, нами доказана

  Теорема. Для  любой  пары  квадратичных  форм  F  и  G,

G > 0, в линейном пространстве Lп над полем R существует базис  и, в котором форма F имеет канонический вид, а  G имеет нормальный вид, то есть   – диагональная матрица, а = E. Это означает, что существует матрица  Т= перехода к новому базису такая, что  Т tТ = diag(λ1,λ2,…,λn), Т tТ =Е.

  Так как коэффициенты λ1,…,λn  формы F  – это собственные значения линейного оператора φ  с матрицей  = , то найти их можно, решая характеристическое уравнение для (неизвестной) матрицы = , то есть уравнение

det( -λE) = 0. Но = Т tТ,  Е = Т tТ,  и 

det( -λE) = det(Т t(- λ)Т)= 0 ⇔  det(-λ)= 0 – это уже уравнение для известных (заданных) матриц

и . Многочлен  = det(-λ)  называется характеристическим многочленом пары форм  F, G,  G > 0, а уравнение =0 называется характеристическим уравнением пары форм. Таким образом, для нахождения коэффициентов λ1,…,λn  формы F  нужно решить характеристическое уравнение пары форм.