Лекции по линейной алгебре (стр. 16 )

  Покажем, что линейная оболочка системы векторов существует.

  Утверждение. Линейная оболочка системы векторов  {а1,…,аm} равна пересечению всех подпространств из L, содержащих эти векторы. 

  Доказательство. Очевидно, множество таких подпространств не пусто, так как содержит тривиальное подпространство L. Далее, 1)пересечение всех таких подпространств – подпространство, 2)содержащее векторы {а1,…,аm}. И наконец,  3)это подпространство - наименьшее, так как пересечение подмножеств содержится в любом из пересекающихся подмножеств.

  Утверждение. <а1,…,аm>= {α1a1 +…+αmam|α1,…,αm∈ P}, то есть линейная оболочка системы векторов {а1,…,аm} равна множеству всевозможных линейных комбинаций векторов {а1,…,аm}.

  Доказательство. 1)Докажем, что

V = {α1a1 +…+αmam|α1,…,αm ∈ P} – подпространство.

I. Пусть х, у ∈ V, x = α1a1 +…+αmam, y = β1a1 +…+βmam ⇒

x+y=(α1+β1)a1+…+(αm+βm)am, αx= (αα1)a1+…+(ααm)am∈ V.

II.2. 0 = 0a1 +…+0am ∈ V.

  2)Очевидно, а1 = 1⋅а1 + 0⋅а2 +…+ 0⋅аm ∈ V. Аналогично,

а2,…, аm∈ V.

  3)Пусть подпространство W? а1, а2 ,…, аm  ⇒  все

α1a1 +…+αmam∈ W ⇒ V⊆  W.

  Следовательно, V – наименьшее подпространство, содержащее векторы а1, а2 ,…, аm  ⇒ V = <а1,…,аm>.

  Определение. Если V = <а1,…,аm>,  то векторы а1,…,аm называются образующими подпространства V.

  В этом случае любой вектор из V представляется в виде линейной комбинации системы образующих. Если к тому же векторы а1,…,аm  линейно независимы, то такое представление однозначно, и система образующих является базисом линейного пространства V.

Лекция 15.

  Определение. Рангом системы векторов {а1,…,аm} называется число rg {а1,…,аm} = dim<а1,…,аm>.

  По аналогии с элементарными преобразованиями строк

матрицы или системы линейных уравнений (см.4.2) определим  элементарные преобразования  (ЭП)  системы векторов S = {а1,…,аm}.

  Определение. Будем говорить, что система векторов S′ получается из системы векторов S  элементарным преобразованием I-го типа (SS′), если i-й вектор системы S′ получается прибавлением к i-му вектору системы S  j-го вектора  системы S, умноженного на коэффициент  с∈ Р  (j≠ i). А все остальные векторы системы S′ совпадают с соответствующими векторами системы S.

  При элементарном преобразовании II-го типа в системе S меняются местами i-й  и  j-й векторы.

  При элементарном преобразовании III-го типа в системе S  i-й вектор  умножается на коэффициент с∈ Р, с ≠ 0.

  Если координаты системы векторов записывать по строкам матрицы, то при элементарных преобразованиях системы векторов происходят такие же элементарные преобразования со строками матрицы.

  Упражнение. Доказать, что если  S S′, то S′ S, причем обратное ЭП - того же типа. 

  Докажем, что при элементарных преобразованиях не меняется линейная оболочка системы векторов и, следовательно, ранг системы векторов, то есть если SS′, то <S>=< S′> и  rg S = rg S′.

  Утверждение. Если S S′, то < S′>⊆ <S>.

  Доказательство. Так как S′ содержится в подпространстве <S>, то подпространство <S′>- наименьшее подпространство, содержащее S′ - содержится в <S>, то есть < S′>⊆ <S>.

  Следствие. Если S S′, то < S′>⊆ <S>, и S′ S, то есть < S>⊆ <S′>, и значит, <S>=< S′>, и rg S = rg S′.

  Покажем, как находить ранг системы векторов S. Пусть

S = {а1,…,аm}, и в координатах ai = (ai1,…,ain), i =1,…,m.

Запишем координаты векторов из S по строкам матрицы A, и будем делать над этими строками элементарные преобразования так (см. 4.2), чтобы привести эту матрицу к ступенчатому виду

= , где число ненулевых строк равно r, r≥ 0, и все элементы  ≠ 0, i = 1,…,r. 

Полученную соответствующую систему векторов обозначим

= {}, где . Очевидно, <S> = <>= = <>= {|αi∈P}=

= <>. Покажем, что векторы линейно независимы. Пусть . Приравнивая координаты с номером k1 в левой и правой частях равенства, получим  = 0 ⇒ β1= 0. Затем приравняем координаты с номером k2 в левой и правой частях равенства и получим = 0 ⇒ β2= 0. Далее переходим к координате с номером  k3  и т. д. Таким образом, мы получим, что β1=…=βr = 0, векторы линейно независимы, то есть являются базисом в <> и в <S>. И значит, dim<S>= dim<>= rg S = rg = r.

  Отсюда следует корректность определения ранга в 4.2 – так как r = dim<S>, то r не зависит от способа приведения матрицы к ступенчатому виду.

  7.5. Теорема Кронекера-Капелли.

Запишем  систему линейных уравнений (4.1) в векторном

виде Пусть Аi=- i-й вектор-столбец нашей системы, i = 1,…,n, B =  - вектор из правой части системы. Тогда наша система может  быть записана в виде одного векторного уравнения

А1х1 + А2х2 +…+ Апхп= В. Очевидно, решение этого векторного уравнения существует тогда и только тогда, когда вектор В является линейной комбинацией векторов А1,…,Ап  ⇔ В ∈ <А1,…, Ап> ⇔  <В, А1,…, Ап>⊆ <А1,…, Ап> ⇔

<В, А1,…,Ап>=<А1,…,Ап>⇔ dim<В, А1,…,Ап>= dim<А1,…,Ап> ⇔ rg{В, А1,…,Ап} = rg{А1,…,Ап} ⇔ rg A = rg - ранг основной матрицы системы (4.1) по столбцам равен рангу расширенной матрицы. Этим  мы закончили ещё одно продвинутое (сравните с 4.3) доказательство теоремы Кронекера-Капелли. Далее мы увидим, что ранги матрицы по столбцам и по строкам совпадают.

  7.6. Решение однородных систем линейных уравнений.

  Мы рассматривали задание подпространств в L в виде линейных оболочек систем векторов. Рассмотрим второй способ задания подпространств. Пусть е = {e1,…,еn} – базис пространства L, α1,…,αп  фиксированные элементы из P.

  Утверждение. Подмножество

L1 = {x = x1e1+…+ xnеn ∈ L |α1x1 +…+αnxn = 0}  является

подпространством в L.

  Доказательство. I. Пусть x = x1e1+…+ xnеn, у = у1e1+…+ + уnеn ∈ L1 ⇒ α1x1 +…+αnxn = 0, α1у1 +…+αnуn = 0 ⇒

α1(x1+у1)+…+αn(xп+уп)=0, α1αx1+…+αnαxn=0 ⇒ х+у, αx∈L1.

II. 2. Очевидно, 0L= 0e1+…+ 0еn∈ L1, так как α10 +…+αn0= 0.

  Упражнение. Доказать, что не является подпространством в L подмножество {x= x1e1+…+xnеn∈L |α1x1+…+αnxn=1}.

  Пусть Li={x=x1e1+…+xnеn∈L|αi1x1+…+αinxn=0}, i =1,…,m. Тогда подпространство ∩Li задается однородной системой линейных уравнений

.  (7.1)

Это второй способ задания подпространств в L.

  Пусть L=Pn. Тогда множество решений системы (7.1) является подпространством в P п. Найдем базис и размерность этого подпространства. С помощью элементарных преобразований приведем систему (7.1) к ступенчатому виду. Для простоты будем считать, что  x1,…, xr – главные неизвестные, а xr+1,…, xт  – свободные неизвестные, то есть матрица системы имеет следующий ступенчатый вид: