Лекции по линейной алгебре (стр. 18 )

.

Так как определитель основной матрицы этой системы равен Mr ≠ 0, то, решая эту систему по Крамеру, получим хi=/Mr, i= 1,…,r,  где -  определители, зависящие от хj,  j= r+1,…,n. Раскрывая эти определители, пользуясь линейностью по i-му столбцу, получим: =Δi + сi, r+1 хr+1+…+ сi, nхn, i=1,…,r. Подставляя эти формулы в хi=/Mr, получим выражения главных неизвестных через свободные.

Лекция 17.

  8.3. Необходимые и достаточные условия равенства нулю определи­теля.

  Теорема. Пусть А – (п, п)-матрица. Тогда равносильны следующие условия:

det A = 0, rg A   n, однородная СЛУ с основной матрицей А имеет ненулевое решение, столбцы матрицы А линейно зависимы, строки матрицы А линейно зависимы.

  Доказательство. Из определения ранга rk  1 ⇔ 2. Если  det A ≠ 0, то, например, по правилу Крамера существует только нулевое решение однородной СЛУ с основной матрицей A. Наоборот, если  det A = 0, rg A = r   n, то у однородной СЛУ существуют n – r свободных неизвестных (см. 4.3), и, значит, существует ненулевое решение. Отсюда 1 ⇔ 3. Далее, существование ненулевого решения для однородной СЛУ равносильно линейной зависимости вектор-столбцов матрицы А (см. 7.5), то есть 3 ⇔ 4. Так как det A = det AТ, то 1 ⇔ 5.

  8.4. Общее решение неоднородной системы линейных уравнений.

  Определим произведение строки  А1 = (a1, a2, …, am) на столбец В1 = по формуле А1⋅В1 = a1b1+ a2b2+ …+ ambm. 

  Теперь определим произведение (m, n)-матрицы A на (n, k)-матрицу В. Пусть А1, А2,…, Ат – строки матрицы А, и В1, В2,…,Вk – столбцы матрицы В. Тогда по определению А⋅В= С, где С - (m, k)-матрица, у которой все элементы сij = Аi⋅Вj.

  Упражнения.

Доказать, что для матриц выполняются свойства

(АВ)С= А(ВС), (А+В)С= АС + ВС, С(А+В)= СА + СВ, АЕ= А, ЕА = А, где Е – единичная матрица (см.5.3). Причем если определена левая часть равенства, то определена правая часть и наоборот.

  2. Доказать, что умножение матриц некоммутативно, то есть привести пример матриц А и В таких, что АВ ≠ ВА.

  Определение. Матрица В называется левой обратной для матрицы А, если ВА = Е. Матрица С называется правой обратной для матрицы А, если  АС = Е.

  Утверждение. Если для матрицы А существуют левая

обратная матрица В  и правая обратная матрица С, то В = С.

  Доказательство. Рассмотрим произведение матриц

(ВА)С = В(АС). Левая часть равенства равна ЕС = С. Правая часть равенства равна ВЕ = В. Следовательно,  В = С.

  Далее мы покажем, что левая обратная матрица В и правая обратная матрица С для А существуют ⇔ det A ≠ 0. В этом случае мы будем называть матрицу В = С  обратной матрицей для А и обозначать А-1.

  Систему линейных уравнений (4.1) запишем в матричном виде АХ = В, где А – (т, n)-матрица, основная матрица СЛУ;  Х = - (n,1)-матрица, столбец неизвестных; В = - (т,1)-матрица, столбец правых частей.

  Пусть Хч – некоторое частное решение неоднородной системы, то есть АХч = В, а Х0 – произвольное решение соответствующей однородной системы  АХ = 0, то есть  АХ0 = 0

(здесь 0 в правой части – нулевой столбец). Тогда А(Хч+Х0) = = АХч+ АХ0 = В + 0 = В, то есть Х1 = Хч + Х0 – также решение  неоднородной системы. Наоборот, пусть Х1 – некоторое решение  неоднородной системы, то есть АХ1 = В. Тогда

А(Х1 - Хч)= АХ1 - АХч= В – В = 0, то есть Х0 = Х1 - Хч  - решение  однородной системы, и опять  Х1 = Хч + Х0. Таким образом, все решения неоднородной СЛУ получаются из некоторого частного решения Хч прибавлением всевозможных решений соответствующей однородной СЛУ. Если rg A = r, то множество решений однородной СЛУ  АХ= 0  является линейным пространством размерности n – r, а базисом в этом пространстве  является  фундаментальная  система  решений 

f1, f2 ,…, fn-r  (см.7.6). Любое решение Х0 однородной СЛУ является линейной комбинацией фундаментальной системы решений: Х0 = α1 f1 +…+ αn-rfn-r, α1,…,αn-r∈ P. Выражение с1f1+…+ сn-r fn-r с произвольными постоянными с1,…,сn-r  называется общим решением однородной СЛУ. Любое решение однородной СЛУ получается из общего решения подстановкой вместо произвольных постоянных с1,…,сn-r конкретных элементов поля α1,…,αn-r. Выражение Хч+ с1 f1 +…+ сn-r fn-r, где с1,…,сn-r  - произвольные постоянные, Хч – некоторое частное решение неоднородной системы АХ = В, а  f1 ,…, fn-r - фундаментальная  системы решений соответствующей однородной СЛУ, является общим решением неоднородной СЛУ. И опять - любое решение неоднородной СЛУ получается из общего решения подстановкой вместо произвольных постоянных с1 ,…, сn-r  конкретных элементов α1,…,αn-r∈ P.

  Замечания.

Запишем СЛУ (4.1) в виде матричного уравнения

АХ = В. Пусть А – (п, п)-мат­рица и  А-1 существует. Если Х – решение уравнения,  то, умножая левую и правую часть равенства АХ= В на матрицу А-1 слева, получим, что Х= А-1В. Это означает, что решение нашего матричного уравнения единственно. Непосредственной подстановкой в уравнение проверяется, что А-1В является решением уравнения. Это означает существование решения.

В 7.6 при решении однородной СЛУ мы находили

ФСР,  придавая набору (п – r) свободных неизвестных значения (1,0,0,...,0,0), (0,1,0,…,0,0),…,(0,0,0,…,1,0), (0,0,0,…,0,1). Минор, составленный из этих строк, размером (п –r)×(п – r) – это минор единичной матрицы, и он отличен от нуля. Таким образом мы находили (п – r) линейно независимых (базисных) решений в пространстве решений однородной СЛУ. Как и в любом пространстве, в пространстве решений однородной системы базисов существует много. В частности, базисом будет любое множество из (п – r) линейно независимых решений, то есть таких решений, матрица из координат которых имеет ранг (п – r). Это значит (см. 8.1), что матрица из координат должна иметь ненулевой минор порядка (п – r). Получать (все) решения с такой матрицей можно следующим образом:  нужно  придавать  (п – r)  свободным  неизвестным  (п – r) наборов значений произвольным образом с единственным условием – чтобы полученный (п –r)×(п – r)-минор был отличен от нуля, и затем, естественно, однозначно находить значения главных неизвестных.

  Упражнение. Доказать, что таким образом мы получим все фундаментальные системы решений.

Лекция 18.

  9. МАТРИЦЫ

  9.1. Операции над матрицами, их свойства.

  Рассмотрим Мт, п(Р) - множество (т, п)-матриц с элементами из поля Р. Определим на Мт, п(Р) структуру линейного пространства.

I. Для А, В∈ Мт, п(Р), А= (аi, j)i=1,…,m; j=1,…,n, В= (аi, j)i=1,…,m; j=1,…,n, пусть  А + В = С ∈ Мт, п(Р),  С = (сi, j)i=1,…,m; j=1,…,n, где

сi, j= аi, j+ bi, j. Так определяется операция сложения матриц. Теперь определим операцию умножения матрицы на элемент поля. Для  А∈ Мт, п(Р), А= (аi, j)i=1,…,m; j=1,…,n, α ∈ Р  пусть

αА = (αаi, j)i=1,…,m; j=1,…,n.

II. Упражнение. Проверить, что для определенных нами операций выполняются 8 свойств линейного пространства.

  Замечание. Выполнение восьми свойств линейного пространства можно не проверять, если записывать элементы матрицы в одну строчку длины тп (как в ЭВМ). Можно себе представить, что такие длинные строчки на листе бумаги не помещаются и их приходится разбивать на куски длины п и записывать в таблицу (матрицу). Но операции для матриц (длинных строчек) определены нами так же, как и ранее для строк из Рп в 7.1. Отсюда и следует выполнение восьми свойств для этих операций. Следовательно, можно считать доказанным, что множество (т, п)-матриц является линейным пространством размерности  тп, и это пространство изоморфно Р тп. Как и в 7.2 (см. Теорему 5) естественным базисом в Р тп будет семейство матриц Ei, j, i=1,…,m; j=1,…,n, где  Ei, j - матрица, у которой (i, j)-й элемент равен 1, а все остальные элементы равны 0. 

  Теперь рассмотрим Мп(Р) – множество квадратных  (п, п)-матриц. Как мы только что видели, Мп(Р) – линейное пространство размерности п2. Покажем, что Мп(Р) является также АУ-кольцом.

I. Операции сложения и умножения матриц у нас уже определены.

II. Первые 4 свойства из определения кольца (для операции сложения) такие же, как и для линейного пространства, и выполняются в общем случае для прямоугольных (а не только квадратных) матриц. Свойства 5, 6, 9 из определения кольца также выполняются (см. упражнение 1 из 8.4).

  Упражнение. Доказать, что ∀ А, В∈ Мп(Р), ∀α ∈ Р  выполняется свойство (αА)В = А(αВ) = α(АВ).

  Определение. Множество А называется алгеброй над полем Р, если А является кольцом и линейным пространством над Р, и, кроме того, выполняется свойство (αа)b = a(αb) =  = α(ab)  ∀ a, b∈ A,  ∀α ∈ Р.

  Подводя итог в 9.1, можно сказать, что нами доказана

  Теорема. Множество квадратных матриц Мп(Р) является алгеброй над полем Р.

  9.2. Элементарные матрицы.

  В соответствии с определением элементарных преобразований I-го, II-го и III-го типа над строками или столбцами матрицы определим элементарные матрицы I-го, II-го и III-го типа.