Лекции по линейной алгебре (стр. 31 )

  Доказательство. Пусть dim Ker(λ0 id - φ)= m, {s1,…,sm} – базис подпространства  Ker(λ0 id - φ)  (m – это и есть максимальное число линейно независимых собственных векторов оператора φ с собственным значением λ0 ). Дополним систему векторов {s1,…, sm} до базиса  е  всего пространства  Ln: 

е = {s1,…, sm, аm+1,…, ап}. Тогда  []==,

где Еm – единичная  (m× m)-матрица, 0 – нулевая (n – m)× m-матрица, В – некоторая  m×(n – m)-матрица, С - некоторая 

(n – m)× (n – m)-матрица.  Характеристический многочлен

χφ(t)= det(tЕ - [])=det =(t -λ0)m⋅g(t), где g(t) – некоторый многочлен от t. Поэтому k ≥ m, то есть  максимальное число линейно независимых собственных векторов оператора φ с собственным значением λ0  не превосходит  кратности корня  λ0 в характеристическом многочлене.

Лекция 29.

  18. ЕВКЛИДОВЫ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

  18.1. Определения, примеры.

  Определение. Линейное пространство Е над полем R называется евклидовым пространством, если на Е  фиксирована функция двух векторных аргументов х, у ∈ Е со значениями в R, которая называется скалярным произведением, обозначается (х, у), и обладает свойствами

1. (х + у, z) = (х, z) + (у, z)  ∀ х, у, z ∈ Е,

2. (αx, y) = α (x, y)  ∀ х, у ∈ Е, ∀ α ∈ R,

3. (x, y) = (y, x)  ∀ х, у ∈ Е, 

4. (x, x) > 0  ∀ х ∈ Е, x ≠ 0.

  Свойства 1, 2 означают линейность скалярного произведения по первому аргументу, свойство 3 называется симметричностью скалярного произведения, свойство 4 называется положительной определённостью.

  Следствия из определения.

1. (х, у+ z) = (у+ z, х)= (у, х)+ (z, х)= (х, у)+ (х, z)  ∀ х, у, z∈ Е.

2. (y, αx) = (αx, y) = α (x, y)= α (y, x)  ∀ х, у ∈ Е, ∀ α ∈ R.

Следовательно, скалярное произведение – это билинейная симметричная положительно определенная функция.

3. (0Е, х) = (0R ⋅ 0Е, x) = 0R⋅(0Е, x) = 0R ⇒ (0Е, 0Е) = 0.

4. Пусть  е = {е1,…, еn } – базис в Е, . 

Тогда  (x, y)= ()==, где γi, j = (ei, еj), а матрица Г = = (γi, j) называется матрицей Грама.  Очевидно, (x, y) === [] t Г [], и  Г t = Г. 

5. Легко видеть, что подпространство евклидова  пространст-

ва является евклидовым пространством.

  Примеры.

1. Хорошо известными примерами евклидовых пространств являются множества векторов на плоскости и в трёхмерном пространстве, состоящие из векторов – направленных отрезков, для которых скалярное произведение определяется формулой  (х, у) = |х|⋅|у|⋅cosα , где  α - угол  между векторами  х  и  у.

2. Для пространства Rn строк длины  п  определим скалярное произведение следующим образом: пусть для  х = (х1,…,хп), у= (у1,…,уп)  по определению  (х, у) = х1у1 +…+ хп уп. Как мы увидим далее, полученное евклидово пространство является «типичным».

3. Для пространства C[a, b] непрерывных функций на отрезке [a, b] пусть по определению  (f, g)= ∀ f, g∈ C[a, b].

  Упражнение. Доказать, что в примерах 1-3 для скалярного произведения выполняются свойства 1-4 из определения евклидова пространства, то есть указанные пространства являются евклидовыми.

  Определения.

1. Назовём длиной вектора  х ∈ Е  выражение  |x| = . Так как  (x, x) ≥ 0  ∀ х ∈ Е, то длина определена  ∀ х ∈ Е.

2. Будем говорить, что  х, у ∈ Е  ортогональны,  х ⊥ у,  если

(х, у) = 0.

  18.2. Свойства евклидовых пространств.

  Теорема Пифагора. Если х ⊥ у, то  |x + у|2 = | x |2 + | у |2 .

  Доказательство. |x+у|2 =(х+у, х+у)= (х, х)+ (у, у)+2(х, у) = =  | x |2 + | у |2.

  Следствие. Если х ⊥ у, то  |x + у|2 ≥ | x |2,  |x + у| ≥ | x |, причем  |x + у|2 = | x |2  ⇔  у = 0.

  Теорема 2. Пусть  х, у ∈ Е,  х ≠ 0. Тогда ∃ α∈ R  такое, что  у = αх + z,  где  z ⊥ x.

  Доказательство.  z = у - αх,  z ⊥ x  ⇔ (у - αх, x) = 0  ⇔

(у, х)  - α(х, x) = 0  ⇔  α = (у, х) / (х, x).

  Теорема (неравенство Коши-Буняковского). |(x, y)|≤ |x||у|.

  Доказательство. При  х= 0 неравенство обращается в равенство. Если же  х ≠ 0, то по теореме 2  у = αх + z, и по следствию из теоремы Пифагора  | у | ≥ |αх | = |α || х | =

=⋅|х | = ⇒ |x||у| ≥ |(x, y)|, причем равенство имеет место лишь при  z = 0, у = αх.

  Следствия.

1. Так как  -1≤ (х, у) /|x||y|≤ 1, то мы можем определить угол γ  между векторами  х  и  у  по формуле:  γ = arccos.  И тогда  (х, у) = |x||y|cosγ .

2. (х1у1 +…+ хпуп)2 ≤ (х12+…+ хп2)(у12+…+ уп2) - неравенство Коши-Буняковского для Е = Rn.

3. ()2 ≤ .

4. Неравенство треугольника: |x + y| ≤ |x| + |y|.

  Доказательство. |x + y|2 =(х+у, х+у) =(х, х)+(у, у)+2(х, у) ≤ ≤ |x|2 + |y|2 + 2|x|⋅|y| = (|x| + |y|)2 .

  Теорема 4. Если  ненулевые векторы  а1,…,аk ∈ E  такие, что  аi ⊥ аj  при  i ≠ j, то  а1,…,аk – линейно независимы.

  Доказательство. Пусть  α1а1 +…+αkаk = 0.  Тогда

(α1а1 +…+αkаk, аi )= αi (аi, аi )=  0 ⇒ αi  =  0  ∀ = i.

  Пусть  е ∈ Е, < е > = L,  L⊥ = { x∈ E| (x, е) = 0 }.

  Теорема 5. L⊥ - подпространство в Е, и  Е = L ⊕ L⊥.

  Доказательство.  Очевидно, если  х, у ∈ L⊥, то (x, е) = 0,

(у, е) = 0 ⇒ (x + у, е) = (x, е) + (у, е)= 0 + 0 = 0, и для α ∈ Р 

(αx, е) = α(x, е) = α⋅0 = 0 ⇒ х + у, αx ∈ L⊥. И кроме того, очевидно,  0∈ L⊥. Следовательно,  L⊥ -  подпространство.

  По теореме 2  ∀ х∈ Е  х = α е + z,  α е ∈ L,  z∈ L⊥ ⇒ 

Е = L +L⊥. Так же  если  LL⊥? γ е, то  (γ е, е) = 0 ⇒ γ = 0 ⇒

LL⊥= {0} ⇒ Е = L ⊕ L⊥.

  Теорема 6. Пусть dimE = n. Тогда в Е  существует ортогональный базис {e1,…,en }, то есть такой базис, что (ei, ej)= 0  при  i ≠ j. 

  Доказательство индукцией по  п. При  п = 1 доказывать нечего. Пусть утверждение верно для  п – 1. Выберем  е∈ Е, е ≠ 0. Положим  е1= е,  L = <е1>.  Тогда, очевидно, L⊥ является евклидовым пространством, и  dim L⊥= n –1. По предположению индукции  можно считать, что в  L⊥ ортогональный базис {e2,…,en} существует.  Тогда {e1,e2,…,en} по теореме 5 - ортогональный базис в  Е.

  Теорема 7. Пусть dimE = n. Тогда в Е  существует ортонормированый базис  {и1,…,иn}, то есть такой базис, что

(иi, иj)= δij =  

  Доказательство. Рассмотрим ортогональный базис

{e1,…,en}. Тогда векторы  иi = ei/|ei|, i =1,…,n, образуют ортонормированный базис.

  Очевидно, для ортогонального базиса матрица Грама диагональна, а для ортонормированного базиса  Г = Е.

  Определение. Отображение  φ : Е1→ Е2  евклидовых пространств называется изоморфизмом евклидовых пространств, если  φ  - изоморфизм  линейных пространств, сохраняющий скалярное произведение, то есть  (φ х,φ у) = (х, у) ∀ х, у ∈ Е1. В этом случае евклидовы пространства Е1 и Е2  называются изоморфными, что обозначается так:  Е1 ≈ Е2.