Лекции по линейной алгебре (стр. 34 )

  Доказательство. Проверим линейность отображения  Ф. Ф(а+b)= fa+b= Ф(а)+Ф(b) = fa+ fb, так как  fa+b(х)= (а+b, x) = = (а, x)+ (b, x) = fa(х)+ fb(х) =( fa+ fb)(х).  Ф(αа)= fαa= αФ(а)= = α fa, так как  fαa(х) = (αа, х) = α(а, х) = α (fa(х)) = (α fa)(х). Найдем теперь KerФ. Пусть  а ∈ KerФ  ⇒ Ф(а) = fa = 0 ⇒ fa(х) = 0 ∀ х  ⇒  fa(а) = (а, а) = 0 ⇒ а = 0 ⇒ KerФ = 0 ⇒ Ф – инъекция, сюръекция, биекция (см. теорему 6 из  п.15)⇒ Ф – изоморфизм.

  Замечания.

1. Изоморфизм  Ф  является каноническим, так как он не зависит от базиса.

2. Изоморфизм  Ф позволяет перенести скалярное произведение с  Еп на (Еп)* по правилу  (fa, fb) = (a, b). Таким образом,  (Еп)* становится евклидовым пространством, а  Ф - изоморфизмом евклидовых пространств.

  20.2. Сопряженные линейные операторы.

  Пусть  φ : Еп → Еп  - линейный оператор. Рассмотрим функцию  f(x) = (a, φ x).

  Упражнение.  Проверить, что  f  – линейная функция, то

есть  f ∈ (Еп)*, и следовательно,  f =  fb  при некотором  b∈ Еп.

  Будем считать, что  b = φ*a, где  φ* : Еп → Еп - некоторое отображение. Из определения  φ*  получаем, что

(a, φ x) = (b, x) = (φ*a, x) или  (φ x, а) = (х, φ*a ).

  Утверждение.  φ* : Еп → Еп – линейный оператор.

  Доказательство.  (х, φ*(a+b)) = (φ x, a+b) = (φ x, a) +

+ (φ x, b) = (х, φ*a) + (х, φ*b) = (х, φ*a + φ*b) ⇒  φ*(a+b) =

= φ*a+φ*b (см. утверждение из  п. 20.1). Аналогично,

(х, φ*(αa)) = (φ x, αa) = α(φ x, a)= α (х, φ*a) = (х, αφ*a) ⇒

φ*(αa) = αφ*a. 

  Определение. Линейный оператор  φ*: Еп → Еп  называется сопряженным к линейному оператору  φ.

  Очевидно,  φ** = φ , так как  (φ х, у) = (х, φ*у) = (φ**х, у).

  Заметим, что при отождествлении  Ф: а ↔ fa  получаем:

(a, φ x) = (φ*a, x), то есть  fa(φ x) = φ*( fa )(x) ⇒ φ*( fa )= fa◦φ .

  Теорема. Для линейных операторов  φ  и ψ  на  Еп  эквивалентны следующие 5 условий  (и при выполнении любого из этих условий  ψ  = φ*,  φ  = ψ* ) :

1. (φ x, у) = (х, ψу) ∀ х, у ∈ Еп.

2. (φ еi, еj)= (еi,ψ еj) ∀ i, j  ∀  (для некоторого) базиса  е  в Еп.

3. (φ иi, иj)= (иi,ψ иj) ∀ i, j  ∀  (для некоторого) ортонормированного  базиса  и  в Еп.

4. [] t⋅=⋅[], или же  [] =-1⋅[] t⋅, где - матрица Грама для базиса е. (Доказать, что Г-1 ∃ - см. также п.24.3).

5. [] = [] t.

  Доказательство. Очевидно, из 1 ⇒ 2 (как частный случай), из 2 ⇒ 1 ввиду линейности  φ  и скалярного произведения. Аналогично, 1 ⇔ 3. Проверим, что  2 ⇔ 4. В самом деле, если  [] = (аks),  [] = (bks), то  (φ еi, еj) = (,еj) = = = ([] t⋅)ij – (i, j)-й элемент матрицы  [] t⋅.  А  (еi,ψ еj)= (еi,) == (⋅[])ij – (i, j)-й элемент матрицы ⋅[]. Отсюда  2 ⇔ 4. Аналогично проверяется, что  3 ⇔ 5. 

  20.3. Самосопряженные линейные операторы.

  Определение. Линейный оператор  φ: Еп → Еп  называет-

ся самосопряженным, если  φ* = φ , то есть если  ∀ х, у ∈  Еп  (φ х, у) = (х, φ у). 

  Теорема. Для линейного оператора  φ  на  Еп эквивалентны следующие 5 условий  (и при выполнении любого из этих

условий  φ  = φ*) :

1. (φ x, у) = (х, φ у) ∀ х, у ∈ Еп.

2. (φ еi, еj)= (еi,φ еj) ∀ i, j  ∀  (для некоторого) базиса  е  в Еп.

3. (φ иi, иj)= (иi,φ иj) ∀ i, j  ∀  (для некоторого) ортонормированного  базиса  и  в Еп.

4. [] t⋅ = ⋅[], где - матрица Грама для базиса  е.

5. [] t = [], то есть  [] – симметричная матрица.

  Доказательство следует из теоремы из п. 20.2. 

  20.4. Структура самосопряженного оператора.

  Лемма. Пусть φ : Еп→ Еп - самосопряженный оператор, Еп⊃ L - φ-инвариантное подпространство. Тогда L⊥ - φ-инва - риантное  подпространство.

  Доказательство. ∀ х∈ L, y ∈ L⊥  (φ x, y) = 0 = (x,φ y) ⇒ φ(L⊥)⊥ L ⇒  φ(L⊥)⊆ L⊥ .

  Пусть φ : Еп → Еп  - самосопряженный оператор. По теореме из п. 16.7 в  Еп  ∃  L1  - φ-инвариантное подпространство  размерности  1 или 2. Тогда по лемме L1⊥ - φ-инвариантное  подпространство, и  Еп = L1⊕ L1⊥. Так как  φ  на L1⊥ - самосопряженный оператор, то в  L1⊥  ∃  L2  - φ-инвариантное  подпространство  размерности  1 или 2, и ортогональное дополнение  L′  к  L2  в  L1⊥  также φ-инвариантно. Далее,

Еп = L1⊕L2⊕L′, и в  L′  ∃  L3  - φ-инвариантное  подпространство  размерности  1 или 2, и так далее. В конце концов, мы получим разложение Еп = L1⊕L2⊕…⊕Lq, где все Li – подпространства  размерности  1 или 2, φ-инвариантны и попарно ортогональны.

  Если  L –  евклидово  пространство  размерности  2,

L = <и1, и2>, где  {и1, и2} – ортонормированный базис в  L,  и

φ : L → L  - самосопряженный оператор, то  [] = , и характеристический многочлен  χφ(t)= t2- (a+c)t + ac - b2. Его дискриминант  (а+с)2 – 4(ас - b2) = (а – с)2 + b2 ≥ 0 ⇒ в  L  ∃  собственный вектор, ∃  одномерное φ-инвариантное подпространство ⇒ L – прямая сумма двух одномерных попарно ортогональных  φ-инвариантных подпространств.

  Следовательно, в разложении Еп = L1⊕L2⊕…⊕Lq  можно считать, что все Li – подпространства размерности  1, попарно ортогональны и  φ-инвариантны. Значит,  n = q, и 

Еп = L1⊕L2⊕…⊕Lп.

  Если  L – евклидово пространство размерности 1, L = <e>, и  φ : L→ L - самосопряженный оператор, то φ е = α е,  α∈ R.