Лекции по линейной алгебре (стр. 12 )

a1= a + km, b1= b + lm,  и  a1+ b1= a + b + (k + l)m,

a1 b1=  ab +(kb + al + klm)m ⇒ (a1+ b1)π (a + b), (a1 b1)π(a b) ⇒ =, =.  Корректность доказана.

Проверим свойства операций.

1. (+)+=+===+=

=+(+) – это свойство ассоциативности сложения в Zm  следует из ассоциативности сложения в Z.

2. Так как ∀ ∈ Zm  +=, то в Zm  ∃  нейтральный

элемент по сложению.

  3.  Так как ∀ ∈ Zm  +=, то ∀ ∈ Zm  ∃  проти­воположный элемент по сложению:  - =.

  Свойства 4, 5, 8, 9 из определения кольца следуют из соот­ветствующих свойств кольца целых чисел и доказываются так же, как и свойство 1.

Упражнение. Доказать свойства 4, 5, 8, 9.

  6. Так как ∀ ∈ Zm  ⋅=, то в Zm  ∃  нейтральный

элемент по умножению.

  Таким образом, мы  доказали, что  Zm  -  АКУ-кольцо.

  Пример.  Выпишем  таблицы  сложения  и умножения для Z6.

Таблица сложения

Таблица умножения

+

х

Так как ⋅=, то и в Z6  являются делителями нуля. В то же время ⋅=, то есть - обратимый элемент в Z6 .