Лекции по линейной алгебре (стр. 17 )

.  (7.2)

Будем придавать набору (п – r) свободных неизвестных значения (1,0,0,...,0,0), (0,1,0,…,0,0),…,(0,0,0,…,1,0), (0,0,0,…,0,1). После этого главные неизвестные находятся однозначно, и мы получим набор из (п – r) частных решений однородной

СЛУ  f1 = (*,*,…,*,1,0,0,...,0,0), f2 = (*,*,…,*,0,1,0,...,0,0),…, fn-r= (*,*,…,*,0,0,...,0,0,1), где звездочкой * обозначены какие-то значения главных неизвестных. Покажем, что f1, f2 ,…,fn-r - базис в пространстве решений СЛУ (7.1). Во-первых, строки f1, f2,…,fn-r – линейно независимы. Это доказывается так же, как  линейная независимость строк матрицы из 7.4. Во-вторых, любое решение СЛУ (7.1) является линейной комбинацией решений f1, f2 ,…, fn-r. В самом деле, если решение системы  f = (с1,…,сr+1,..., сn), то линейная комбинация решений  f0 = f - сr+1 f1 - ... - сn fn-r  принадлежит пространству решений, причем  f0 = (*,…,*,0,…,0), то есть у  f0  все свободные неизвестные равны нулю. Тогда, решая СЛУ (7.2), получим, что все главные неизвестные у  f0  также равны нулю, то есть  f0 = 0,  f - сr+1 f1 - ...- сn fn-r = 0  ⇒  f = сr+1 f1 +...+сn fn-r. Таким образом,  f1, f2 ,…,fn-r - базис в пространстве решений СЛУ (7.1), и размерность пространства решений равна (п – r).

  Определение. Базис в пространстве решений однородной системы линейных уравнений называется фундаментальной системой решений  (сокращенно ФСР).

  Так как базисы в пространствах выбираются неоднозначно, то и ФСР выбираются неоднозначно. Мы показали, что

f1, f2 ,…,fn-r – ФСР для СЛУ (7.1). Любое линейно независимое  семейство из (п – r) решений также является фундаментальной системой решений.

Лекция 16.

8. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

  (ПРОДОЛЖЕНИЕ)

  8.1. Определение ранга матрицы через миноры.

  Определение. Будем говорить, что для (m, n)-матрицы А

ранг rk A= r, если все миноры в А порядка (r+1) равны нулю, и существует минор порядка r, который не равен нулю.

  Упражнения.

1. Доказать, что если  rk A = r, то все миноры в А порядка s,  s > (r+1),  равны нулю.

2. Доказать, что  rk A = 0 ⇔ A = 0.

3. Доказать, что  rk A = 1 ⇔  в А ∃ ненулевая строка, а все остальные строки ей пропорциональны.

  Далее мы докажем, что rk A = rg A.

  Утверждение. Если А – (m, n)-матрица, и  АА′ , то

rk A′ ≤ rk A.

  Доказательство. Пусть rk A= r. Покажем, что в матрице А′  все миноры М′r+1 порядка r+1 равны нулю. Отсюда и будет следовать утверждение.

  Пусть  АА′, и i-я строка матрицы А′ получается сложением  i-й строки матрицы  А с j-й строкой, умноженной на с∈ Р  (j≠ i). Рассмотрим минор М′r+1 порядка r+1 в А′. Если

i-я строка матрицы А′ не входит в М′r+1 , то минор М′r+1 равен соответствующему минору Мr+1 матрицы А:  М′r+1= Мr+1= 0. Если в М′r+1 входят и i-я и  j-я строки матрицы А′ , то минор М′r+1 получается из соответствующего минора  Мr+1 с помощью ЭП-I, то есть М′r+1= Мr+1= 0. Если же i-я строка матрицы А′  входит в М′r+1 , а j-я строка матрицы А′  не входит в М′r+1, то М′r+1= Мr+1± с М0r+1,= 0± с0 = 0, где Мr+1 и  М0r+1 – соответствующие миноры матрицы  А.

  Пусть теперь  АА′,  и при ЭП-II  в матрице А меняются местами  i-я  и  j-я строки.  Если i-я и j-я строки матрицы А′  не входят в  М′r+1 , то  М′r+1= Мr+1= 0. Если i-я и j-я строки матрицы А′  входят в  М′r+1 , то  М′r+1= - Мr+1= - 0 = 0. Если же i-я строка матрицы А′ входит в М′r+1, а j-я строка матрицы А′ не входит в М′r+1, то М′r+1=± М0r+1 = 0, где М0r+1 - некоторый минор матрицы  А.

  Наконец, пусть АА′, и при ЭП-III в матрице А i-я  строка умножается на с∈ Р, с ≠ 0. Если i-я строка матрицы А′  не входит в  М′r+1, то  М′r+1= Мr+1= 0. Если же i-я строка матрицы А′  входит в М′r+1, то  М′r+1= с Мr+1=с 0 = 0.

  Следствие. Если АА′ , то  rk A′ = rk A.

  Доказательство. Так как  А А′,  то  А′ А,  причем

обратное ЭП - того же типа (см. упражнение 1 из 4.2). Следовательно, rk A′ ≤ rk A, и  rk A ≤ rk A′, то есть rk A′ = rk A.

  С помощью элементарных преобразований (как в 4.2) приведем матрицу А к ступенчатому виду

= .

Тогда  rk A = rk.

  Утверждение. rk= r = rg =  rg A.

  Доказательство. Так как в существуют лишь r ненулевых строк, то любой минор порядка r+1 содержит нулевую строку и поэтому равен нулю. Кроме того, очевидно, минор  r-го порядка, стоящий на пересечении первых r строк и столбцов с номерами k1, k2,…, kr, не равен нулю – он равен ⋅⋅…⋅≠ 0.

  Итак, мы доказали, что rk A = rg A. Далее для ранга матрицы мы будем использовать единое обозначение rg A.

  Утверждение. rg At = rg A.

  Доказательство. Так как определитель не меняется при транспонировании матрицы, то rk At = rk A, и

rg At = rk At = rk A = rg A.

  Последнее утверждение означает, что ранги матрицы по строкам и по столбцам совпадают, то есть размерность линейной оболочки строк матрицы и размерность линейной оболочки столбцов матрицы одинаковы.

  8.2. Решение систем линейных уравнений (продолжение).

  Запишем систему линейных уравнений (4.1) в виде

S : .

И рассмотрим систему

S′ : .

Очевидно, S′ ⇒ S, и если уравнение F = 0 является следствием системы S, то  S ⇒ S′, и S ⇔ S′. Более того, S ⇔ S′  тогда и только тогда, когда уравнение F = 0 является следствием системы S. Это означает, что добавление к системе S или удаление из системы S′ уравнения, которое является следствием системы S, не меняет множества решений системы S. Чтобы сделать систему проще, естественно удалять из системы все уравнения, которые являются следствиями остальных уравнений.

  Утверждение. Если F = α1F1+α2F2+…+αmFm, то уравнение F = 0 является следствием системы S, и S′ ⇔ S.

  Доказательство очевидно: любое решение системы S обращает в 0 все F1 , F2 ,…, Fm, и значит, обращает в 0 выражение F, так как α10 +α20+…+αm0 = 0.

  Посмотрим, когда существуют такие  α1, α2, …,αm,  что

α1F1+α2F2+…+αmFm=F. Если такие α1,α2, …,αm существуют, то, сравнивая коэффициенты при х1 , х2 ,…, хп и правые части уравнений, получим, что α1, α2, …,αm являются решениями следующей системы из п+1  уравнений:

Q : .

Наоборот, если α1, α2 , … , αm - решения этой системы, то α1F1+α2F2+…+αmFm = F. Таким образом, F = α1F1+…+αmFm ⇔  существует решение системы Q ⇔  (по теореме Кронекера-Капелли) равны ранги матриц 

  и  , или равны ранги транспонированных матриц

  и  .

Следовательно, если ранги этих матриц равны, то последнее уравнение в системе S′  можно отбросить и перейти от системы S′ к системе S.

  Предположим теперь, что нам дана СЛУ  (4.1), у которой ранг основной матрицы и ранг расширенной матрицы равны r (то есть система совместна). Для простоты будем считать, что отличный от нуля минор Mr  порядка r находится в левом верхнем углу матрицы А. Тогда все уравнения, начиная с (r+1)-го и до т-го, являются линейными комбинациями первых r уравнений, и значит, их следствиями. То есть наша СЛУ равносильна системе из первых r уравнений, а уравнения с  (r+1)-го и до т-го мы можем отбросить. Оставшиеся r уравнений мы запишем в виде