Лекции по линейной алгебре (стр. 26 )

  Замечания.

1. В частном случае при Ln= Lm= Ls, e= e′= e′′, имеем

= ⋅.

2. Если ψ φ = id, то [ψ]⋅[φ] = [id] = Е ⇒ [ψ] = [φ] -1

⇒  [φ -1] = [φ] -1.

  13.3. Сумма линейных отображений и её матрица.

Пусть  φ, ψ : Ln → Lm - линейные отображения. Опреде-

лим отображение φ +ψ : Ln → Lm  формулой: ∀ x ∈ Ln 

(φ +ψ)x = φ x + ψ x. Тогда:

1. φ +ψ - линейное отображение, так как ∀ x, y∈ Ln, ∀ α,β ∈P (φ +ψ)(α x+β y)= φ(α x+β y)+ψ(α x+β y)=

=αφ x+βφ y+ αψ x+βψ y =α(φ+ψ)x+β(φ +ψ)y.

2. (φ +ψ)ej = φ ej +ψ ej ⇒ =[] =[] + [] =

= + ⇒ = + , [φ +ψ] =  [φ] +[ψ] .

  13.4. Умножение линейного отображения на элемент

поля.

  Пусть  φ : Ln → Lm - линейное отображение, r∈ P. Опре-­

делим отображение  r⋅φ : Ln → Lm  формулой: ∀ x∈ Ln 

(r⋅φ)x = r⋅(φx). Тогда:

r⋅φ - линейное отображение, так как (r⋅φ)(α x+β y) =

=r(φ(α x+β y))= r(αφ x+βφ y)=rαφ x+rβφ y =α(r⋅φ)x+β(r⋅φ)y.

  2.  (r⋅φ)ej = r⋅(φ ej )  ⇒  =[] =r[] = r⋅ ⇒

=  r⋅, [rφ] = r⋅[φ].

  13.5. Изоморфизм алгебры линейных операторов и

алгебры матриц.

  Пусть L= Ln - линейное пространство над полем P, Ф(Ln) – множество линейных операторов φ: Ln → Ln. Тогда из пп.13.2-13.4 следует, что < Ф(Ln),+, , > - некоторая универсальная алгебра.

  Теорема. < Ф(Ln),+, , > - алгебра.

  Один из возможных способов доказательства этой тео­ремы состоит в доказательстве следующих трех утвержде­ний:

  1. Множество Ф(Ln, Lm)={φ: Ln → Lm}  линейных отображе­ний из Ln в Lm с операциями сложения и умножения на эле­менты поля является линейным пространством  над полем P.

  2. Ф(Ln) – ассоциативное унитарное кольцо относительно операций сложения и умножения (композиции) линейных операторов.

  3. Ф(Ln) – алгебра относительно операций из пп.1,2.

  Мы докажем эту теорему иначе.

  Определение. Пусть A=<A, ΩA >, B=<B, ΩB > - универсальные алгебры с носителями A, B и множествами операций ΩA, ΩB соответственно. Отображение χ: A→ B называется изоморфизмом универсальных алгебр, если:

1. χ: A→ B – биекция носителей,

2. ∃  биекция  χΩ : ΩA → ΩB такая, что для любой n-арной операции ω∈ΩA  операция  χΩ (ω)=ω′∈ΩB  также  n-арная, и

∀ a1 ,…,an∈ А  выполняется χ(a1…anω)=χ(a1)…χ(an)ω′.

  Доказательство теоремы.

  1. Пусть е – некоторый фиксированный базис в Ln. Опреде­лим отображение χ: Ф(Ln) → Мn(Р), где Мn(Р) – алгебра

n× n-матриц над Р. Пусть∀φ∈Ф(Ln) по определению χφ=[].

Как мы уже видели, χ - биекция.

  2. Отображение χ: < Ф(Ln),+, ,> → < Мn(Р),+,⋅ ,> является изоморфизмом универсальных алгебр, так как по результатам пп.13.2-13.4

  χ(φ+ψ) = [φ+ψ] = [φ] + [ψ] = χφ + χψ,

  χ(φ ψ)  = [φ ψ] = [φ]⋅[ψ] =χφ ⋅χψ,

  χ(r⋅pφ)  =  [r⋅pφ] = r ⋅p[φ] = r ⋅p χφ .

  3. Так как < Мn(Р),+,⋅ , > - алгебра, то <Ф(Ln),+, ,> - алгебра, и эти алгебры изоморфны. В качестве примера до­кажем дистрибутивность в Ф(Ln): ∀ φ, ψ, ξ ∈ Ф(Ln)

χ((φ+ψ)ξ) = χ(φ+ψ)⋅χξ = (χφ + χψ)⋅χξ = χφ⋅χξ + χψ⋅χξ =

= χ(φ ξ) + χ(ψ ξ) = χ(φ ξ + ψ ξ)

⇒ (φ + ψ)ξ = φ ξ + ψ ξ  (из биективности χ).

  Остальные условия из определения алгебры проверяются аналогично.

  Следствия.

1.  dim Ф(Ln) = dim Мn(Р) = n2.

Если л. о. φ ∈ Ф(Ln) такой, что ∀ψ∈Ф(Ln) имеем

ψ φ = φ ψ, то  ∃  с∈ Р такой, что φ = с - это следует из соответствующего свойства  алгебры матриц.

  Упражнение. Проверить, что

B = {φij∈ Ф(Ln), i, j =1,…,n|φij ej  = ei, φijek= 0L при k ≠  j} - базис линейного пространства Ф(Ln).

  Очевидно, φijek=δkjei, и  [φij] = Eij – базисные матрицы в пространстве Мn(Р).

Лекция 26.

  14. МАТРИЦА ПЕРЕХОДА ОТ ОДНОГО БАЗИСА К

ДРУГОМУ

14.1. Изменение координат вектора при изменении

базиса.

  Пусть e={e1,…,en} и  e′ = {e′1,…,e′n} - некоторые базисы в

пространстве L = Ln. Для произвольного вектора x ∈ Ln  рас­смотрим разложения x== и найдем зависи­мость

между координатами хi  и  х′i вектора  x в этих базисах.

  Пусть []=[x],  []=[x]′  и e′j = , j = 1,…,n, tij ∈ P - разложение векторов базиса e′ по базису e. Определим мат­рицу= T=(tij)i, j=1,…,n, столбцами которой являются столцы Т j =[]. Эта матрица Т  называется матрицей перехода от базиса e к базису e′. Очевидно, x === =еi  ⇒ хi = - это произведение i-ой строки матрицы T= (tij ) на столбец [x]′, и []=[] или в сокращенном виде  [x] = Т⋅ [x]′.