Лекции по линейной алгебре (стр. 37 )

условий  φ  = φ*) :

1. (φ x, у) = (х, φ у) ∀ х, у ∈ Нп.

2. (φ еi, еj)= (еi,φ еj) ∀ i, j  ∀  (для некоторого) базиса  е  в Нп.

3. (φ иi, иj) = (иi,φ иj)  ∀ i, j  ∀  (для некоторого) ортонорми-

рованного  базиса  и  в Еп.

4. []t⋅ = ⋅, где - матрица Грама для базиса  е.

5. [] t = - такие матрицы называются эрмитовыми.

  Упражнение. Доказать теорему. 

  Следствие. Если  А – эрмитова матрица, то det At= det A= = det= ⇒ det A ∈ R.

  23.4. Структура эрмитова оператора.

  Лемма. Пусть φ : Нп→ Нп  -  эрмитов оператор,  Нп ⊃ L –

φ-инвариантное подпространство. Тогда L⊥ - φ-инвариантное  подпространство.

  Доказательство. ∀ х∈ L, y ∈ L⊥  (φ x, y) = 0 = (x,φ y) ⇒ φ(L⊥)⊥ L ⇒  φ(L⊥)⊆ L⊥ .

  Как и в теореме из  п.22.3  Нп=L1⊕L2⊕…⊕Lп, где все Li – подпространства размерности  1, φ-инвариантны и попарно ортогональны.

  Если  L – унитарное пространство размерности 1, L= <e>, и  φ : L → L - эрмитов оператор, то  φ е = α е,  α∈ С  ⇒

(φ е, е)= (α е, е)= α(е, е)= (е, φ е)= (е, α е)= ( е, е) ⇒ α = ⇒ α∈ R. 

  В разложении  Нп = L1⊕L2⊕…⊕Ln  выберем  в каждом  Li  единичный вектор  иi. Объединение  и  этих векторов является ортонормированным базисом в Нп. В этом базисе матрица эрмитова оператора  φ  имеет вид: [] = diag(α1,,…,αn), где все αs∈ R. Таким образом, нами доказана структурная 

  Теорема. Для любого эрмитова оператора  φ : Нп →  Нп  ∃  ортонормированный базис  и  евклидова пространства, в котором матрица  φ  имеет вид: [] = diag(α1,α2,…,αn), где все αs∈ R. Наоборот, если [] = diag(α1,…,αn), где все αs∈ R, то  φ  - эрмитов. 

  На языке матриц теорему можно сформулировать так:

  Для любой эрмитовой матрицы  А  ∃  унитарная матрица

Т  (матрица перехода к новому ортонормированному базису) такая, что матрица  Т -1АТ  =  diag(α1,α2,…,αn), где все αs∈ R.

  Определение. Линейный оператор  φ  в евклидовом или унитарном пространстве называется нормальным, если

φ*φ  = φφ*.

  Заметим, что ортогональные и унитарные операторы –

нормальные, так как  φ*φ  = φφ* = id, самосопряженные и эрмитовы операторы – нормальные, так как  φ* = φ .

  Можно доказать структурную теорему для нормальных операторов, а затем, как частные случаи, получить из неё структурные теоремы, которые мы доказали для ортогональных, самосопряженных, унитарных,  эрмитовых операторов.

Лекция 34.

24. БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ

  24.1. Определение билинейной функции. Общие свойства.

  Определение. Билинейной функцией  f на линейном пространстве L  над полем P  называется функция от двух векторных аргументов  f: L× L → P,  (x, y) → f(x, y) ∈ P, удовлетворяющая условию линейности по каждому аргументу:

f(αx+βy, z) = αf(x, z)+ βf(y, z)  ∀x, y, z ∈ L, ∀α,β ∈ P, f(x, αy+βz) = αf(x, y)+ βf(x, z)  ∀ x, y, z∈L, ∀α,β∈P.

  Следствия. Для билинейной функции  f  выполняются свойства

1. f(0L, y) = f(x, 0L ) = 0  ∀x, y ∈ L.

2.   ∀ m, n ∈ N,

∀αi, βj ∈ P, ∀ui, vj∈ L.

  Упражнение. Доказать следствия.

  Примеры.

1. Скалярное произведение (x, y) на евклидовом пространстве является билинейной функцей.

2. Если  f1,  f2  - линейные функции на  L, то  f(x, y)= f1(х)f2(у) – билинейная функция  на  L.

Матрица билинейной формы.

  Пусть f - билинейная функция на n-мерном пространстве

L=Ln над полем P, e={e1,…,en} - произвольный базис в L. Для

любых x, y∈ L  имеем где все  xi, yj∈ P.

Тогда 

  f(x, y) = f .  (24.1)

Формула (24.1) показывает, что функция  f(x, y)  является многочленом от координат  х, у, все одночлены которого – первой степени по х  и первой степени по у. Такой многочлен называется формой первой степени (то есть линейной) по х, и первой степени (то есть линейной) по у, то есть билинейной формой. Такие билинейные формы мы и будем изучать.

  Очевидно, значение билинейной формы f(x, y)  для произвольных x, y∈ L полностью и однозначно определяется n2 значениями f(ei, ej) на упорядоченных парах базисных векторов ei, ej.

  Определим квадратную матрицу = ( fij ) порядка n, где fij = f(ei, ej ), i, j = 1,…,n. Матрица называется матрицей билинейной формы  f  в базисе  e.

  Из формулы  (24.1)  f(x, y)== = = = . 

  Упражнение. Доказать обратное утверждение: если функция  f  задается формулой  f(x, y)= , то  f – билинейная функция,  и матрица  = ( fij ).

  24.3. Изменение матрицы билинейной формы при изменении базисов. Ранг билинейной формы.

  Пусть  e′ = {e′1,…,e′n}  –  ещё один базис в  L, и = T =

= ( tij ) - матрица перехода от базиса  e  к базису e′:

. Тогда ∀ x, y∈ L  имеем , и

f(x, y) = = =

= . Следовательно, из единственности матрицы билинейной формы,  =  . 

  Следствие.  det = det ⋅(det T)2.

  Определение.  Пусть  f(x, y) - билинейная форма на L. Рангом билинейной формы  f  называется ранг ее матрицы в каком-либо базисе пространства  L:  rg f = rg.

  Корректность определения следует из того, что ранг матрицы билинейной формы не зависит от выбора базиса: rg= rg для любых базисов e и e′, так как умножение матрицы  на невырожденные матрицы T t и  T  слева и справа соответственно не меняет ранга матрицы билинейной формы.

  24.4. Определение квадратичной формы. Связь билинейных и квадратичных форм. Матрица и ранг квадратичной формы.