Лекции по линейной алгебре (стр. 6 )

  На полученные r формул можно смотреть двояко. Во-первых, можно считать, что это СЛУ, равносильная первоначальной СЛУ (4.1) и записанная специфическим удобным способом, при котором некоторые неизвестные (главные) выражены через другие (свободные). Во-вторых, эти формулы можно считать общим решением системы (4.1), в котором свободные неизвестные являются параметрами и принимают произвольные значения из поля Р, а главные неизвестные однозначно находятся по нашим формулам. Для эстетов, которым не нравится второй взгляд, можно уточнить этот второй взгляд введением других букв. Присвоим свободным  (n – r) неизвестным произвольные значения t1, t2 ,…,tn-r из поля P, a значения главных неизвестных найдем по нашим формулам. Полученный набор значений неизвестных и будет решением системы (4.1).

  Таким образом, нами доказана

  Теорема Кронекера-Капелли. Система (4.1)  совместна тогда и только тогда, когда rg A = rg.

  Если r = n, то есть свободных неизвестных нет, и все неизвестные – главные, а матрица ступенчатого вида в (4.2) – треугольная, то система (4.1) имеет единственное решение, то есть является определенной. Если r n, то свободные неизвестные существуют, и система имеет более одного решения, то есть является неопределенной. Если поле Р – бесконечное, то при  r n  совместная  СЛУ имеет бесконечно много решений.

4.4. Решение систем линейных уравнений по Жордану.

  Как и при решении по Гауссу приведем расширенную матрицу системы (4.1) с помощью ЭП к ступенчатому виду (4.2). После удаления последних нулевых строк матрица примет вид:

.

Далее снизу вверх, начиная с r-й строки, проделаем над этой матрицей (соответственно, над СЛУ) следующую процедуру. Сделаем над этой матрицей ЭП-III – умножим r-ю строку на . Тогда r-я строка матрицы примет вид: 

. С помощью ЭП-I, вычитая r-ю строку с соответствующими коэффициентами из выше расположенных строк, сделаем над 1 в r-й строке все элементы  kr-го  столбца нулевыми. Затем переходим к (r - 1)-й строке. С помощью ЭП-III сделаем 1 в начале строки на месте с номером (r – 1, kr-1), и с помощью ЭП-I сделаем нули везде выше над этой единицей в kr-1 –м столбце. Затем переходим к (r - 2)-й строке и т. д. После этой процедуры наша матрица примет вид  .

Теперь в соответствующей СЛУ оставим главные неизвестные слева, а все остальные слагаемые перенесем в правые части уравнений. Получим, как и при решении по Гауссу, выражения главных неизвестных через свободные. В отличие от метода Гаусса, когда с помощью матрицы (4.2) мы выражали главные неизвестные через свободные, на каждом шаге подставляя в формулу выражения ранее найденных главных неизвестных, при методе Жордана все необходимые вычисления проводятся над матрицей, а в конце мы получаем готовые формулы выражений главных неизвестных через свободные. 

Лекция 7.

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

5.1. Определения. Свойства.

  На множестве квадратных (п× п)-матриц (п = 1,2,3,…) с элементами из поля  Р определим по индукции функцию det со значениями в поле Р.  Значение этой функции на матрице А будем обозначать также |A| и называть определителем матрицы А.

  Пусть для п = 1 для матрицы А = (а11) по определению detA = а11 .

  Далее будем считать, что для всех (п – 1)×(п – 1)-матриц  функция det уже определена. Определим для  (п× п)-матрицы 

A = функцию detA по формуле:

detA = а11 M11 -  а21 M21 + а31 M31 - …+(-1)n+1аn1 Mn1 , где Mk1 – определитель  (п – 1)×(п – 1)-матрицы, которая получается из матрицы A вычеркиванием 1-го столбца и k-й строки. По предположению индукции можно считать, что все эти определители мы вычислять умеем. Определители Mk1  называются минорами, соответствующими элементам  аk1. Число п будем называть порядком (п× п)-матрицы А, а также порядком определителя |A|. 

  Упражнение. Написать формулы для |A| при n = 2 и 3.

  Замечание. detA  можно рассматривать как функцию одного матричного аргумента A, можно рассматривать как функцию от п2 аргументов  аij, можно рассматривать как функцию от п  строк матрицы A.

  Обозначим  i-ю строку матрицы А через  Аi. То есть  Аi = (аi1 , аi2 ,…, аin ). Рассмотрим  det как функцию п  строк матрицы A:  detA = det(А1 , А2 ,…, Аn ).

  Утверждение 1.

det(А1 ,…,Аi+А′i,…,Аn)=det(А1 ,…,Аi,…,Аn)+det(А1 ,…,А′i,…,Аn).

  Доказательство по индукции.

  При  п = 1  утверждение очевидно.

  Пусть утверждение верно для п – 1. Докажем его для п. Рассмотрим матрицу , у которой  i-я  строка = Аi+А′i. По определению ||= а11-а21+…+(-1)i+1(аi1+а′i1)Mi1+…+ +(-1)n+1аn1, где , k ≠ i, - миноры матрицы , Mi1 – минор матрицы А и . Так как все - определители порядка n – 1, то по предположению индукции для них утверждение 1 верно, то есть при k ≠ i  = Mk1 + M′k1 , где Mk1 - миноры для det(А1 ,…,Аi,…,Аn), а M′k1 – миноры для

det(А1 ,…,А′i,…,Аn). Таким образом,

||= а11(M11+M′11) - а21(M21+M′21)+…+(-1)i+1(аi1+а′i1)Mi1+…+  +(-1)n+1аn1 (Mn1+ M′n1) =

= (а11M11 - а21M21+…+(-1)i+1аi1 Mi1+…+(-1)n+1аn1Mn1 )+

+ (а11M′11 - а21M′21+…+(-1)i+1а′i1Mi1+…+(-1)n+1аn1 M′n1) =

=  det(А1 ,…,Аi,…,Аn) + det(А1 ,…,А′i,…,Аn).

  Утверждение 2.

det(А1 ,…, сАi,…, Аn) = сdet(А1 ,…, Аi,…, Аn).

  Доказательство по индукции.

  При  п = 1  утверждение очевидно.

  Пусть утверждение верно для п – 1. Докажем его для п. Рассмотрим матрицу , у которой  i-я  строка = сАi. По

определению || = а11- а21+…+(-1)i+1саi1Mi1+…+

+(-1)n+1аn1, где , k ≠ i, - миноры матрицы , Mi1 – минор матрицы А и . Так как все - определители порядка n – 1, то по предположению индукции для них утверждение 2 верно, то есть при k ≠ i  = сMk1 , где Mk1 - миноры для det(А1 ,…, Аi,…, Аn).  Таким образом,

||= а11сM11 - а21сM21 +…+ (-1)i+1саi1Mi1+…+ (-1)n+1аn1сMn1 =

= сdet(А1 ,…,Аi,…,Аn) .

  Свойства определителя из утверждений 1, 2 называются свойствами линейности определителя по  i-й  строке. Так как i – произвольная строка, i = 1÷ n, то говорят, что определи­тель - полилинейная функция строк.

  Утверждение 3.

det(А1 ,…, Аi, Аi,…, Аn) = 0 – то есть определитель, у которого две соседние строки одинаковые, равен нулю.

  Доказательство по индукции.

  При  п = 2  утверждение очевидно из формулы для определителя 2-го порядка.

  Пусть утверждение верно для п – 1. Докажем его для п. Рассмотрим матрицу А, у которой Аi+1= Аi. По определению |А| = а11M11 - а21M21+…+(-1)i+1аi1Mi1 - (-1)i+1аi1Mi1+…+

+(-1)n+1аn1Mn1 , где все миноры Mk1 , k ≠ i, i+1, – имеют две одинаковые соседние строки, и так как все Mk1 - определители порядка n – 1, то по предположению индукции для них утверждение 3 верно, то есть при k ≠ i, i+1  Mk1 =0. А сумма  (-1)i+1аi1Mi1 - (-1)i+1аi1Mi1= 0. Таким образом, |А| = 0.

  Утверждение 4.

det(А1 ,…, Аi, Аi+1 ,…, Аn) = - det(А1 ,…, Аi+1 , Аi,…, Аn) – то

есть если у определителя поменять местами две соседние строки, то он изменит знак.

  Доказательство. Из утверждений 3 и 1