Лекции по линейной алгебре (стр. 35 )

  В разложении  Еп = L1⊕L2⊕…⊕Ln  выберем  в каждом  Li

единичный вектор  иi. Объединение  и  этих векторов является ортонормированным базисом в Еп. В этом базисе матрица самосопряженного оператора  φ  имеет вид:

[] = diag(α1,α2,…,αn). Таким образом, нами доказана структурная 

  Теорема. Для любого самосопряженного оператора

φ : Еп → Еп  ∃  ортонормированный базис  и  евклидова пространства, в котором матрица  φ  имеет вид:

[] = diag(α1,α2,…,αn),  где все αs∈ R.  Наоборот, если

[] = diag(α1,…,αn), где все αs∈ R, то φ  - самосопряженный.

  На языке матриц теорему можно сформулировать так:

  Для любой симметричной матрицы  А  ∃  ортогональная матрица Т  (матрица перехода к новому ортонормированному базису) такая, что матрица  Т -1АТ  =  diag(α1,α2,…,αn), где все αs∈ R.

Лекция 32.

21. УНИТАРНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

  21.1. Определения, примеры.

  Определение. Линейное пространство H  над полем C называется унитарным (или эрмитовым) пространством, если на Н  фиксирована функция двух векторных аргументов х, у ∈ Н со значениями в С, которая называется скалярным произведением, обозначается (х, у), и обладает свойствами

1. (х + у, z) = (х, z) + (у, z)  ∀ х, у, z ∈ Н,

2. (αx, y) = α (x, y)  ∀ х, у ∈ Н, ∀ α ∈ С,

3. (x, y) =   ∀ х, у ∈ Н  (черта над числом означает комплексное сопряжение) , 

4. (x, x) > 0  ∀ х ∈ Н, x ≠ 0.

  Заметим, что из  свойства 3 комплексное число (x, x) яв-

ляется действительным, так как  (x, х) = , и неравенство в свойстве  4  имеет смысл. 

  Свойства 1, 2 означают линейность скалярного произведения по первому аргументу, свойство 3 называется эрмитовостью скалярного произведения, свойство 4 называется положительной определённостью.

  Следствия из определения.

1. (х, у+z)= = += (х, у)+ (х, z) ∀ х, у, z∈ Н.

2. (х, αу) = == (х, у)  ∀ х, у ∈ Н, ∀ α ∈ С.

  Следствие 1 означает, что для скалярного произведения выполняется одно из двух свойств линейности по второму аргументу. Следствие 2 показывает, что второе свойство линейности по второму аргументу не выполняется. Поэтому  скалярное произведение в Н  называют полуторалинейной эрмитовой положительно определенной функцией.

3. (0Н, х) = (0С⋅0Н, x) = 0С⋅(0Н, x) = 0С ⇒ (0Н, 0Н) = 0C.

4. Пусть  е = {е1,…, еn } – базис в Н,  . 

Тогда  (x, y) = () = =,

где γi, j = (ei, еj), а матрица Г == (γi, j) называется матрицей Грама. Очевидно, (x, y)===[] tГ , и  Г t = .  Черта над матрицей означает замену всех элементов матрицы на комплексно сопряженные.

  Примеры.

1. Для пространства Сn строк длины  п  определим скалярное произведение следующим образом: пусть для  х = (х1,…,хп), у= (у1,…,уп)  по определению  (х, у) = х1+…+ хп.

2. Для пространства CС[a, b] непрерывных комплексных фун­-

кций на отрезке [a, b] (то есть функций вида f1(х)+ if2(х), где  f1(х), f2(х) – непрерывные действительные функции на [a, b]) пусть и по определению  (f, g)= ∀ f, g∈ CС[a, b].

  Упражнение. Доказать, что в примерах 1, 2 для скалярного произведения выполняются свойства 1-4 из определения унитарного пространства, то есть полученные пространства являются унитарными.

  Определения.

1. Назовём длиной вектора  х ∈ Н  выражение  | x | = . Так как  (x, x) ≥ 0  ∀ х ∈ Н, то длина определена  ∀ х ∈ Н.

2. Будем говорить, что векторы  х, у∈Н  ортогональны, х ⊥ у,  если  (х, у) = 0.

  Упражнение. Сформулировать для унитарных пространств определения, утверждения, упражнения и теоремы, аналогичные определениям, утверждениям, упражнениям и теоремам из п.18.2 для евклидовых пространств, и доказать

сформулированные утверждения, упражнения и теоремы.

  22. УНИТАРНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

  22.1. Определение. Свойства.

  Определение.  Линейный оператор  φ : Н → Н  на унитарном пространстве  Н  называется унитарным,  если

(φ х, φ у) = (х, у)  ∀ х, у ∈ Н.

  Утверждение 1. Если  φ - унитарный оператор, то φ - невырожденный.

  Доказательство. Если  х∈ Ker φ,  то  (φ х, φ х) = (х, х) = 0 ⇒  х = 0  ⇒  Ker φ = 0.

  Утверждение 2. Если  φ - унитарный оператор, то

φ -1 - унитарный оператор.

  Доказательство. Пусть  φ -1х = а, φ -1у = b. Тогда (а, b) = = (φ a, φ b) = (x, y) ⇒  (x, y)= (а, b) = (φ -1х, φ -1у).

  Следовательно, унитарный оператор – это автоморфизм унитарного пространства Н  (изоморфизм Н на себя).

  Теорема 1. Для унитарного оператора φ : Нn → Нn  эк­вивалентны следующие 14 условий:

(φ х, φ у) = (х, у)  ∀ х, у ∈ Нn. (φ еs, φ et) = (еs, et)  ∀ s, t  ∀ (для некоторого) базиса 

е = {е1,..,en}  в  Нn.

(φ us,φ ut) = (us, ut) = δst  ∀ s, t  ∀ (для некоторого)

ортонормированного базиса  и = {и1,..,иn}  в Нn.

  4.  {φ u1 ,…,φ un } – ортонормированный базис.

5.  = = γs, t, где γi, j = (еi, ej) –

элементы матрицы Грама,  а (ai, j) = [].

  6.  =  δs, t, где (bs, t) = [].

  7.  [] t = .

  8.  [] t = Е  и  t [] = Е  .

  9.  []-1 = t.

  10.  []t = Е.

  11.  =  δs, t.

  12.  Строки матрицы  []  являются ортонормированным