Лекции по линейной алгебре (стр. 38 )

  Определение.  Пусть  f -  билинейная функция на линейном пространстве L  над  P. Функция  F: L → P, заданная формулой  F(x) = f(x, x) ∀ x ∈ L, называется квадратичной функцией, определяемой билинейной функцией  f.

  Если  f(x, y)=, то  F(x) = - многочлен, все одночлены которого имеют вторую степень по координатам  х, то есть это форма второй степени, или же квадратичная форма. Таким образом, квадратичная функция  F(x)  задается квадратичной формой от координат  х.

  Упражнение.  Доказать, что соответствие  f → F  не инъ-

ективно.

  Определение. Билиненая форма (функция) f называется симметричной, если  f(x, y) =  f(y, x)  ∀ x, y ∈ L.

  Упражнение. Доказать, что  f – симметрична ⇔  f(ei, ej) =  = f(ej, ei)  ∀ i, j  ∀  (для некоторого) базиса  e  ⇔  = t.

  Утверждение. Если  charP ≠ 2, то соответствие  f ↔ F  между симметричными билинейными и квадратичными формами является биекцией.

  Доказательство. Пусть f - симметричная билинейная форма, и  f → F.  Тогда  ∀ x, y∈ L  F(x + y) = f(x + y, х + у)= = f(x, х) +  f(y, у) + f(x, y)+ f(y, x) = F(x) + F(y) + 2 f(x, y) ⇒

  f(x, y)=(F(x + y) - F(x) - F(y)).  (24.2)

  Следовательно, билинейная форма  f  однозначно восстанавливается по определенной ею квадратичной форме  F, и значит, соответствие  f → F является инъекцией.

  Упражнения. 

1. Пусть  F – некоторая квадратичная форма (полученная, например, из билинейной не обязательно симметричной формы  g). Проверить в координатах, что форма  f, получен-

ная из  F  по формуле  (24.2)  будет билинейной.

2. Проверить, что эта форма  f  будет симметричной, и что 

f → F.

  Из упражнений следует, что соответствие  f → F  является сюръекцией и, следовательно,  биекцией.

  Определение. Матрицей квадратичной формы  F в базисе  е  называется матрица соответствующей симметричной билинейной формы  f :  = .

  Следовательно,  [F] t  =  [F],  и в другом базисе  е′ 

=t. Кроме того,  F(x) = , и по определению  rg F = rg f.

  24.5. Эквивалентность билинейных форм и квадратичных форм.

  Пусть  φ: L→ L - невырожденный линейный оператор, и g(x, y) - билинейная форма на пространстве L. Пусть по определению  gφ(x, y)= g(φ x,φ y). Аналогично для квадратичной формы по определению  Gφ(x) = G(φ x).

  Упражнение. Проверить, что  1. gφ  - билинейная форма,

2. (gφ )ψ = gφ ψ,  3. g id = g, 4. если  f = gφ , то  g = .

  Будем говорить, что билинейные формы  f  и  g  на пространстве L  (соответственно, квадратичные формы F и G) находятся в отношении  ~  (f ~ g, F ~ G), если существует невырожденный линейный оператор φ: L→ L такой, что  f = gφ  (соответственно, F = Gφ).

  Если φ - унитарный оператор в Нп (или ортогональный оператор в Еп), то будем говорить, что формы  f  и  g  (F и G) находятся в отношении  ≈.

  Упражнение. Проверить, что отношения  ~  и  ≈  являются отношениями эквивалентности на множестве билинейных (соответственно, квадратичных) форм. 

  Определение. Формы  f  и  g  (соответственно, F и G) на-

зываются эквивалентными, если  f ~ g  (F ~ G).

  Формы  f  и  g  (F и G) называются унитарно эквивалентными (ортогонально эквивалентными в случае Еп), если f ≈ g  (F ≈ G).

  Так как  gφ(x, y) = g(φ x,φ y) = [φ x] t[g][φ y] =

= [x]t [φ]t [g][φ][ y] = [x]t([φ]t[g][φ])[y] = [x]t[gφ][y],  то

= [φ] t[φ] = = ,  где  е′ = φ е.  Аналогично,

= [φ] t[φ] = = .

  Следовательно,  f ~ g  ⇔  в произвольном базисе

[f] = T t[g]T, где T – некоторая невырожденная матрица.  Так же  f ≈ g  ⇔  в произвольном ортонормированном  базисе 

[ f ] = T t[g]T,  где  T  –  некоторая унитарная  (ортогональная

при  L  = Еп)  матрица. Очевидно, Т = [φ]. Для квадратичных форм всё аналогично.

  Следствие 1.  f ~ g ⇔ в L существуют базисы  e  и  e′  такие, что  . Соответственно,  f ≈ g ⇔ в L - существуют ортонормированные базисы  e  и  e′  такие, что  .

  Следствие 2. Если  f ~ g, то  rg f = rg g, то есть эквивалентные формы имеют равные ранги.

  Действительно,  rg f = rg= rg g.

  Введенные нами отношения эквивалентности  ~  и ≈ разбивают множество билинейных (квадратичных) форм, определенных на пространстве  L  над  P, на непересекающиеся классы эквивалентных форм. При изучении фактор-множества возникают важные вопросы: какой наиболее простой вид может иметь представитель каждого класса эквивалентных форм, сколько существует различных классов, какие формы эквивалентны, насколько выбором базиса в L  можно упростить матрицу билинейной и квадратичной формы. Эти  вопросы мы и будем далее рассматривать для квадратичных  и симметричных билинейных форм.

Лекция 35.

  24.6. Канонический и нормальный вид квадратичных и симметричных билинейных форм.

  Пусть  L - линейное пространство над произвольным полем Р,  char P ≠ 2,  f(x, y) – симметричная  билинейная форма на  L,  F(x) – соответствующая квадратичная форма.

  Определение. Будем говорить, что векторы  х, у  из L ортогональны в смысле f  (или  f-ортогональны), если f(x, y)= 0.

Этот факт мы будем обозначать так:  х⊥f у.

  Теорема. В  L  существует  f-ортогональный базис.

  Доказательство.

1. Если F(x) = 0  ∀ x ∈ L, то из  (24.2)  f(x, y) = 0  ∀ x, у ⇒

любой базис в L является  f-ортогональным.

2. Если же  ∃  е ∈ L  такой, что  F(е) ≠ 0,  то пусть  е = е1,

L1 = <е1>, L2 = {x∈ L | f(е1, x) = 0}. Легко проверить, что  L2 – подпространство. Будем называть  L2  ортогональным дополнением к  L1  в смысле формы  f  и обозначать . Докажем, что  L = L1 ⊕.

a) Пусть  х∈ L1. Тогда  х= α е1 ⇒ f(е1,αе1)=α f(е1, е1) = = α F(е1) = 0 ⇒ α = 0 ⇒  x = 0 ⇒  L1 = 0.

б) Покажем, что  ∀ х ∈ L  ∃ α ∈ Р  такое, что  х = αе1 + у, где  у ∈ .  В самом деле,  у ∈ ⇔  (х - αе1)⊥f е1  ⇔