Лекции по линейной алгебре (стр. 8 )

  5.4. Разложение определителя по столбцам.

  Для квадратной матрицы А определитель матрицы, полученной из А вычеркиванием  i-й строки и  j-го столбца, будем обозначать Мij  и называть минором, соответствующим элементу aij матрицы A.

  Рассмотрим функцию матрицы

F(A) = а1i M1i -  а2i M2i + а3i M3i - …+(-1)n+1аni Mni.

  Аналогично утверждениям 1÷6 из 5.1 доказывается, что F(A) – полилинейная кососимметричная функция строк матрицы А. Разница лишь в том, что не надо проводить индукцию, так как полилинейность и кососимметричность определителей  Мij  нам уже известна.

  Упражнение. Доказать полилинейность и кососимметричность по строкам функции F(A).

  По обратной теореме  об  определителях F(A) = с|A|, где  с = F(E) = 0⋅ M1i - 0⋅M2i +…+(-1)i+11⋅Mi i + …+(-1)n+1 ⋅0⋅Mni =

= (-1)i+1Mi i =(-1)1+i, так как  Mi i = 1 ⇒ F(A)= (-1)1+i|A| ⇒

⇒ |A|=(-1)1+iF(A)=(-1)1+iа1iM1i+(-1)2+iа2i M2i+…+(-1)n+i аni Mni.

Таким образом, нами доказана

  Теорема о разложении определителя по столбцу:

∀ i  |A|=.

  Определение. Будем называть Аji= (-1)j+iMji алгебраическим дополнением элемента аji в определителе.

  В этих обозначениях  |A|=.

  5.5. Полилинейность и кососимметричность определителя по столбцам.

  Обозначим i-й столбец матрицы А че­рез Аi, то есть Аi=. Рассмотрим |A| как функцию от п  столбцов матрицы А, то есть |A|= det(А1,А2,…, Аn).

  Теорема. Определитель является линейной функцией от  i-го столбца ∀ i  (и, следовательно, полилинейной функцией столбцов).

  Доказательство. Докажем, что 

det(А1,…,Аi+А′ i,…,Аn)= det(А1,…,Аi,…,Аn)+det(А1,…,А′ i,…, Аn)

и  det(А1,…,сАi,…,Аn)= с⋅det(А1,…,Аi,…,Аn).

  По теореме о разложении определителя по столбцу

|A| = а1i А1i+ а2i А2i +…+ аni Аni, где все коэффициенты Aji от i-го столбца не зависят. Поэтому det(А1,…,Аi+А′ i,…,Аn)=

= =+=

= det(А1,…,Аi,…,Аn) + det(А1,…,А′ i,…, Аn),

det(А1,…,сАi,…,Аn) = = с=

= с det(А1,…,Аi,…,Аn).

  Теорема. Определитель является кососимметричной функцией столбцов.

  Доказательство.  Докажем индукцией по п, что если при i ≠ j  Аi= Аj, то  det(А1,…,Аi,…,Аj,…,Аn) = 0.

  При п =2  утверждение очевидно из формулы для определителя.

  Пусть утверждение верно для п –1. Докажем его для п≥ 3. Так как п≥ 3, то в определителе кроме столбцов Аi= Аj существует столбец Аk, где k ≠  i, k ≠ j. Разложим |A| по  k-му столбцу:  |A| =(-1)1+kа1k M1k+(-1)2+kа2k M2k+…+(-1)n+kаnk Mnk, и в этом разложении во всех определителях Msk имеется по два одинаковых столбца. Так как порядок всех Msk равен п -1, то по предположению индукции можно считать, что все  Msk = 0 ⇒ |A| =0.

Лекция 9.

  5.6. Определитель транспонированной матрицы.

  Для (m×n)-матрицы C=(cij) транспонированной матрицей называется (n×m)-матрица C t = (c′ji), где c′ji = cij.

  Теорема. |A t| =|A|. 

  Доказательство. Пусть функция матрицы F(A) = |At|. Рассмотрим F(A) как функцию F(А1,…,Аn) строк А1,…,Аn матрицы A. Тогда F(А1,…,Аn) – полилинейная кососимметричная функция строк матрицы А, так как строки матрицы А – это столбцы матрицы  At, а  |At| - полилинейная кососимметричная функция столбцов матрицы  At. По обратной теореме об определителях  F(A) = с|A|,  где  с = F(E) = |Е t| = |Е| = 1,  то

есть |At| =|A|. 

  5.7. Разложение определителя по строкам.

  Теорема. ∀ i  |A|== .

  Доказательство. Разложим |AT| по  i-му столбцу: 

|AT| == - это и есть разложение определителя |A| по  i-й строке.

  5.8. Определитель матрицы с углом нулей.

  Теорема. Пусть матрица Н имеет блочный вид:

Н = , где (п×п)-матрица  A = ,

(m×m)-матрица  C = ,  (n×m)-матрица 

B = , а  (m×n)-матрица  0 = .  Тогда |H| = |A|⋅ |C|.

  Доказательство. Рассмотрим |H| как функцию F(C) матрицы C. Эта функция полилинейна и кососимметрична относительна строк матрицы C. По обратной теореме об определителях  F(C) = α|C|,  где α = F(E) = det . Если разложить последний определитель по последней строке, то получим F(E) =(-1)n+m+п+mMn+m, п+m. Далее снова раскладывая определитель Mn+m, п+m по последней строке и повторяя эту процедуру m – 1 раз, получим, что α =F(E)=|A|, и |H|=|A|⋅|C|. 

  5.8. Теорема о полном разложении определителя.

  Запишем k-ю строку определителя  матрицы  А  в  виде  Аk=(аk1,аk2,…,аkn )=аk1(1,0,0,…,0)+аk2(0,1,0,…,0)+аkn(0,0,…,1)= = аk1E1 + аk2E2 +…+ аknEn = , k = 1,…, n, где

Еs = (0,..,0,1,0,…,0) – здесь 1 стоит на s–м месте. Тогда

|A| = det(А1 ,…, Аn) = det(,…,) =

=, и в этой сумме из пn слагаемых все слагаемые, у которых существуют одинаковые индексы ip= iq, равны нулю, так как определители

det(E,E,…,E) с одинаковыми строками E= E равны нулю. Следовательно, можно считать, что

|A| ==,

где все индексы i1,…,in в слагаемых различны, то есть образуют перестановку чисел 1,…,п; число слагаемых, следовательно, равно п!;  ε(σ) = det(E,E,…, E), а

σ = - подстановка.

  Утверждение. ε(σ)=+1, если σ - четная, и ε(σ) = - 1, если σ - нечетная.

  Доказательство. Очевидно, матрица со строками

E,E,…, E получается из единичной матрицы Е при помощи действия на столбцы подстановкой σ. По утверждению из 3.2, если количество инверсий в нижней строке подстановки σ  равно m, то σ  можно разложить в произведение m  транспозиций. И столбцы в матрице Е можно либо переставить все сразу с помощью σ, либо переставить за m шагов, переставляя при помощи транспозиций каждый раз только два столбца. Так как при каждой перестановке столбцов определитель меняет знак, то ε(σ) = det(E,E,…, E)= (- 1 )m. Следовательно, если m - четно, то ε(σ) = + 1, а если m - нечетно, то ε(σ) = - 1.

  Следствие. Если подстановку σ можно разложить одним способом в произведение р  транспозиций и другим способом в произведение q транспозиций, то четность p и q одинакова.

  Доказательство. В самом деле, ε(σ)=det(E,E,…,E)= = (- 1 )p =(- 1 )q ⇒ четность p  и q одинакова.