Лекции по линейной алгебре (стр. 28 )

⇒ Imφ = <φ е1,…,φ еn>, {φе1,…,φ еn} – система образующих для Imφ .

2.  dim Imφ  - это ранг системы векторов {φ е1,…,φ еn}, то есть ранг системы столбцов координат этих векторов [],…,[], которые явля­ются столбцами матрицы [φ]. Отсюда dim Imφ  = rg[φ].

  Следствие. Так как в равенстве  dim Imφ  =  rg[φ]  левая

часть от базиса не зависит, то и rg[φ] во всех базисах один и

тот же.

  Определение. Пусть φ : Ln→ Lm - линейное отображение. Рангом отображения φ  называется число dim Imφ = rg[φ], которое мы будем обозначать  rgφ.

Дефектом отображения φ  называется  число dim Kerφ, кото­рое мы будем обозначать  defφ.

  Теорема 5. rgφ + defφ = n = dimLn.

  Доказательство. Выберем базис {е1,…,еd} в подпростран­стве Kerφ  и дополним его до базиса {е1,…, еd, еd+1,…, еn} всего пространства Ln. Тогда Imφ =<φ е1,…,φ еd, φ еd+1,…,φ еn>=

= <φ еd+1,…,φ еn>, так как φ е1=…=φ еd= 0.  Покажем, что {φ еd+1,…,φ еn} – базис в пространстве Imφ. Для этого достаточно доказать, что векторы {φ еd+1,…,φ еn} – линейно независимы. Пусть  αd+1φ еd+1 +…+ αnφ еn = 0 ⇒

φ(αd+1еd+1+…+αnеn) = 0 ⇒

αd+1 еd+1 +…+ αn еn ∈ Kerφ = <е1,…, еd> ⇒

αd+1еd+1 +…+ αnеn=α1е1+…+αd еd  ⇒

α1е1+…+αd еd - αd+1 еd+1 -…-αnеn= 0. Но {е1,…,еn} линейно не­зависимы. Значит, все α i= 0. Таким образом, {φеd+1,…,φ еn} – базис в пространстве Imφ,  dim Imφ = n – d = n – dim Kerφ  ⇒ 

rgφ + defφ = n = dimLn.

  Следствие. Ln=<е1,…, еd, еd+1,…, еn>=<е1,…, еd>⊕

⊕<еd+1,…, еn>=Kerφ⊕<еd+1,…, еn>, и φ : <еd+1,…, еn>→ Imφ - изоморфизм линейных пространств.

Лекция 27.

  Теорема 6. Для линейного оператора φ : Ln → Ln эк­вива­лентны  следующие 10 условий:

Kerφ = {0}, defφ = 0, rgφ = n, Imφ = Ln, φ - инъекция, φ - сюръекция, φ - биекция, ∃ φ -1, ∃ [φ]-1, detφ ≠ 0.

Доказательство.

Очевидно, 1⇔2  и  3⇔4⇔6 из определения, 2⇔3  из  тео-

ремы 5,  1⇔5  из теоремы 3,  5&6⇔7 из определения. Так как rgφ = rg [φ], а  detφ = det [φ], то из теории определителей 3⇔10, а из теории матриц 10⇔9. Эквивалентность 9⇔8 сле­дует из того, что [φ]-1= [φ -1]. Либо можно доказать эквива­лентность 7⇔8 следующим образом: 8⇒7 – из определения, а если имеет место 7, то, очевидно, отображение φ -1∃, и нам требуется лишь доказать его линейность. Пусть φ -1х = u,

φ -1y = v ⇒ φ u = х, φ v = y ⇒ φ(α u+β v) =α х +β y ⇒ 

φ -1(α х +β y) = α u+β v = αφ -1х + βφ -1y ⇒ φ -1 – линейно.

  Определение. Линейный оператор φ  называется невы­рожденным, если выполняется любое из десяти эквивалент­ных условий из Теоремы 6. В противном случае оператор называется вырожденным.

16. ИНВАРИАНТНЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА

  Определение. Для линейного оператора φ : L → L под­пространство V ⊆ L называется инвариантным относительно φ  (или  φ-инвариантным), если φV ⊆ V  (∀х∈V  φ х∈V).

  Примеры.

1. {0} и  L – инвариантные подпространства для любого ли­нейного оператора φ : L → L. Эти подпространства называ­ются тривиальными.

2. Пусть pr<i, j>: Е3→ Е3- ортогональное проектирование на плоскость < i, j >. По определению pr<i, j>(xi+ yj+ zk)= xi+ yj. Тогда V1 = < i, j > и V2 = < k > - инвариантные подпространства, и Е3= V1 ⊕ V2.

3. Пусть φ : Е3→ Е3 – поворот относительно оси < k >. Тогда V1 = < i, j > и V2 = < k > - инвариантные подпространства, и Е3= V1 ⊕ V2.

4. Рассмотрим d/dx : Pn[x] → Pn[x]. Тогда  для k = 0,…,n

Pk[x] – инвариантные подпространства, но Pn[x] нельзя разложить в прямую сумму инвариантных подпространств.

  Определение. Пусть φ : L → L  линейный оператор в линейном пространстве L над полем Р,  f(t)= αkt k+ αk-1t k-1+…+ +α1t +α0 ∈ P[t]. Тогда по определению  f(φ)= αkφ k+…+α1φ+ + α0 id.

  16.1. Свойства инвариантных подпространств.

  Утверждения.

  1. Сумма φ-инвариантных подпространств φ-инвариантна.

  2. Пересечение  φ-инвариантных подпространств  φ-инва-

риантно.

Пусть V - φ-инвариантное подпространство и

f(t)∈ P[t].  Тогда V – инвариантно относи­тельно линейного оператора  f(φ ).

  Доказательство.

1. Пусть V1 и V2 - φ-инвариантные подпро­странства, то есть φV1 ⊆ V1, φV2 ⊆ V2. Тогда  φ(V1 + V2) = φV1 + φV2 ⊆ V1 + V2 .

2. Пусть V1 и V2 - φ-инвариантные подпро­странства,  и 

х∈ V1 ∩ V2 . Тогда х∈ V1, х∈V2 , и φ х∈ V1, φ х∈V2 , так что

φ х∈ V1 ∩ V2 .

3. ∀х∈ V имеем φ х∈ V ⇒ φ 2х = φ(φ х)∈ V, …, φ nх∈ V, и так как V – подпространство, то

f(φ )х = α0 idL x +α1φ x + …+ αnφ nх∈ V ⇒ V - f(φ )-инвари - антное подпространство.

  Рассмотрим, как существование у линейного оператора  φ инвариантного подпространства связано со свойствами его матрицы [φ].

  Пусть φ : Ln → Ln - линейный оператор, Ln ⊃ Lm - φ-инва - риантное подпространство (1≤ m< n), {е1,…, еm} – базис в Lm. Дополним базис Lm до базиса е = {е1,…, еm, еm+1,…, еn}  всего пространства Ln. В базисе е оператор φ имеет полураспав­шуюся  матрицу:

  []=,  (16.1)

где А1  – (m× m)-матрица,  А2  – (n-m)×(n - m)-матрица, 0 – ну-­

левая (n-m)× m-матрица. В самом деле, ∀j =1,…,m  φ еj ∈ Lm,

то есть  φ еj =α1jе1+…+ αmjеm + 0еm+1+…+0еn.

  Обратно, если в некотором  базисе е ={е1,…, еm, еm+1,…,еn}

пространства Ln  оператор φ имеет полураспавшуюся  мат­рицу вида (16.1), то <е1,…, еm >= Lm - φ-инвариантное подпространство. В самом деле, ∀j =1,…,m  φеj∈ Lm (так как φеj  раскладывается только по векторам е1,…, еm ) ⇒ ∀ х ∈ Lm,  х= α1е1+…+ αmеm, имеем φ х = α1φ е1+…+ αmφ еm∈ Lm.

  Выводы.

1. Л. о. φ  имеет нетривиальное инвариантное подпространство ⇔ в Ln ∃  базис, в котором матрица [φ] - полураспавшаяся.

2. Подпространство Lm - φ-инвариантно  ⇔ для любого (достаточно, для некоторого) базиса {е1,…, еm } в Lm  φ еj ∈ Lm  ∀j =1,…,m.

  Пусть φ : L→ L - линейный оператор, L⊃V - φ-инвариант-

ное подпространство. Определим отображение φ|V : V→ V так:  ∀x∈ V пусть по определению φ|V(x)= φ x.

  Упражнение. Доказать, что φ|V – линейный оператор.

  Определение. Линейный оператор φ|V : V→ V называется ограничением φ  на V, или оператором, индуцированным на инвариантном подпространстве  V линейным оператором φ.

  Очевидно, φ  и φ|V отличаются лишь областью определе­ния, и на подпространстве V  имеет место равенство φ =φ|V.

  Замечание. Очевидно, линейное отображение φ|V  будет линейным оператором ⇔ V - инвариантное подпространство.

  Легко видеть, что для примера 2  φ|V1 =id,  φ|V2 =0, а для примера 3  φ|V1 – поворот плоскости,  φ|V2 = id. В случае же оператора с матрицей (16.1), очевидно, в базисе {е1,…, еm}  []= А1 .

  16.2. Прямая сумма инвариантных подпространств.

  Пусть φ : Ln → Ln - линейный оператор, Ln=L1⊕ L2  - пря­мая сумма φ-инвариантных подпространств  L1  и  L2 ,

е′ = {е1,…,еm} – базис в L1, е′′ = {еm+1,…,еn} – базис  в L2, dimL1= m, dimL2= n - m. Тогда  е = {е1,…,еm, еm+1,…,еn} – ба­зис всего пространства Ln, и в этом базисе из инвариантности L1 матрица [φ] имеет вид (16.1). Но мы можем утверждать и большее. Так как L2 – также φ-инвариантно, то ∀j =m+1,…,n  φ еj∈ L2, то есть φ еj = 0е1+…+0еm + α m+1,j еm+1+…+αnj еn  ⇒ в матрице (16.1)  В = 0, то есть 

  [] = А1∔ А2  -  (16.2)

распавшаяся или блочно-диагональная матрица. Здесь  А1 – квадратная матрица порядка m,  А2  - квадратная матрица по­рядка n – m,  А1 = ,  А2 =.