Лекции по линейной алгебре (стр. 42 )

  Определение.  Пусть f - полуторалинейная форма на L. Рангом формы  f  называется ранг ее матрицы в каком-либо базисе:  rg f = rg.  Аналогично, rg F = rg= rg f. 

  Корректность определения следует из того, что rg от базиса  e  не зависит.

  Теорема. Полуторалинейная форма  f  является эрмитовой тогда и только тогда, когда соответствующая  f  квадратичная  форма  F  принимает  на  L  только  действительные

значения,  то есть ∀ x∈ L  F(x) = f(x, x) ∈ R.

  Доказательство. Если  f - эрмитова форма, то ∀ x, y ∈ L f(x, y)= поэтому ∀ x∈ L  F(x)=f(x, x)= так что  F(x) ∈ R  ∀ x∈ L.

  Наоборот, пусть теперь ∀ x∈ L  F(x) = f(x, x) ∈ R.  Покажем, что тогда ∀ x, y∈L  f(x, y)= то есть f – эрмитова. Используем формулу (26.1):  ∀ x, y ∈ L

  f(x, y) = (F(x + y) – F(x - y)+ iF(x + iy) – iF(x - iy)), 

причем  ∀x, y ∈ L  F(x+y)= F(y+x)∈ R,

F(x - y)= f(x - y, x - y)= (-1)2f(y - x, y - x)= F(y – x)∈ R,

F(x + iy)= i⋅⋅f(x + iy, x + iy)= f(- y+ ix,- y+ ix)=

= (-1)2f(y - ix, y - ix)=  F(y – ix)∈ R,  и аналогично

F(x - iy)= F(y + ix)∈ R.

  Подставив последние четыре формулы в (26.1), получим:

f(x, y)= (F(y+ x) - F(y – x) + i F(y – ix) - i F(y + ix))=. 

  Следовательно,  f - эрмитова форма.

  26.2. Нормальный вид эрмитовых форм.

  Пусть  f(x, y) – эрмитова форма на линейном пространстве L  над полем С, F(x) – соответствующая квадратичная форма.

  Теорема. В  L  существует  f-ортогональный базис.

  Доказательство аналогично доказательству  из  п.24.6.

  Пусть  e′ = {е1,…,еn} -  f-ортогональный базис, и пусть  f(еk, еk) = λk  ∀k. Тогда  в  этом базисе  =  diag(λ1,…,λn), где все  λk ∈ R,  f(x, y) = , F(x) =, и такой вид эрмитовых форм  f  и  F  называется каноническим. Следовательно, любая эрмитова полуторалинейная форма и любая эрмитова квадратичная форма эквивалентны формам канонического вида. То есть существует линейная замена координат, которая приводит произвольную эрмитову полуторалинейную форму (квадратичную форму) к каноническому виду.

  Пусть  f(еk, еk) = λk ≠ 0  при  k =1,…,r  и  f(еk, еk)= 0  при

k = r+1,…,п.  Тогда  r = rg f = rgF,  и  r  от базиса  не зависит.

  Будем считать теперь, что форма  F  имеет канонический вид  F(x) = λ1|х1|2+…+λs|xs|2 – λs+1|хs+1|2–…–λs+t |хs+t|2,  где  все  λk > 0,  s + t = r.  Пусть  μk = при  k = 1,…,r,  μk = 1  при  k = r+1,…,п.  Тогда после замены координат  zk = μkxk ∀ k  получим  F(x)= |z1|2+…+|zs|2–|zs+1|2-…-|zs+t|2 - такой вид квадратичной формы  называется нормальным. 

  Таким образом, имеет место

  Теорема. В линейном пространстве  L  над полем  С  для

любой эрмитовой формы F существует базис, в котором форма имеет нормальный вид  F(z) = z12+…+zs2– zs+12-…-zs+t2. Соответствующая эрмитова полуторалинейная форма f имеет нормальный вид  f(z, w) = z1w1+…+zsws – zs+1ws+1-…- zs+tws+t.

  Как и в п.24.6 для эрмитовых форм  F  можно дать определения положительно определённой или положительной формы (F > 0), отрицательно определённой или отрицательной формы (F 0), неотрицательно определённой формы (F ≥ 0),  неположительно определённой формы (F ≤ 0), неопределённой формы. Во всех этих случаях условия на  s  и  t  будут такие же, как и в  п.24.6.

  По аналогии с п.24.7 для эрмитовых форм  формулируется и доказывается закон инерции, определяется положительный индекс инерции формы  I+(F)= s  и отрицательный индекс инерции формы  I -(F) = t.

  Так же эрмитовы квадратичные формы имеют 2 числовых инварианта I+ = s,  I - = t,  которые  независимы и составляют полную систему инвариантов.

  Аналогично как и в п.24.8 формулируется и доказывается  критерий Сильвестра. Необходимо лишь заметить, что угловые подматрицы эрмитовой матрицы являются эрмитовыми, а определители эрмитовых матриц  Мk ∈ R. 

Лекция 38.

27. ЭРМИТОВЫ ФОРМЫ В УНИТАРНОМ

ПРОСТРАНСТВЕ

27.1. Приведение эрмитовой формы унитарным преобразованием координат.

  Теория эрмитовых форм в унитарном пространстве аналогична теории квадратичных форм в евклидовом пространстве (см. п.25).

  Пусть Нп унитарное пространство с ортонормированным базисом и,  F(x) – эрмитова квадратичная форма с матрицей в базисе и  и  f(x, у) – соответствующая эрмитова полуторалинейная форма с матрицей = . Рассмотрим линейный оператор φ  с матрицей = .  Так как матрица - эрмитова, то φ  - эрмитов оператор, φ* = φ . По теореме о структуре эрмитова оператора в  Нп  существует ортонормированный базис и′, в котором матрица оператора φ  диагональна:  = diag(λ1,λ2,…,λn), причем все  λi∈ R. Пусть

Т =. Тогда Т – унитарная матрица (так как по столбцам матрицы Т стоят координаты векторов  из  ортонормированного  базиса  и′), и, значит,  Т -1=. Но  . Пусть Т1=. Тогда  =  diag(λ1,λ2,…,λn) = Т -1Т = Т =

== - диагональная матрица, причем - ортонормированный базис. Следовательно, если в базисе вектор  у  имеет координаты (y1,…,yn), то  форма  F имеет  канонический вид F(у)=λ1|y1|2+λ2|y2|2+…+λn|yn|2, причем все λi∈ R. Соответственно, если в этом базисе вектор  z = (z1,…,zn), то  f(y, z) = λ1y1 + λ2y2 + …+ λnyn . Таким  образом,  нами

доказана

  Теорема. Для любой эрмитовой квадратичной формы  F(x) в унитарном пространстве Нп  существует ортонормированный базис  , в котором форма  F  имеет канонический вид  F(у) = λ1|y1|2+ λ2|y2|2+…+ λn|yn|2, причем все  λi∈ R. Это означает, что существует унитарная матрица Т1 перехода к новому базису  , в котором матрица формы F диагональна: