Лекции по линейной алгебре (стр. 25 )

(aij) размером m×n будем называть матрицей линей­ного

отображения φ  в базисах  e и  e′ и обозначать , или , или [φ], если ясно, какие базисы имеются ввиду. Очевидно, = [], то есть j-й столбец матрицы - это столбец координат вектора φ ej  в базисе e′. Единственность матрицы линейного отображения φ  при фиксированных базисах e  и  e′ следует из леммы 1 и единственности координат вектора в данном базисе.

  Упражнение. Найти матрицы линейных отображений в примерах 1-5.

  Замечание. Пусть по определению [x] = [] = - столбец координат вектора x в базисе  e. Если допустить умножение векторов на элементы поля справа, положив по определению а⋅α = α⋅а ∀α∈Р, ∀а∈L (проверить корректность!), то можно написать в матричном виде следующие равенства:

  х =  e1х1+…+enхn = (e1,…,en)⋅[х] = e⋅[х],  (13.1)

  (φe1,…,φen) = (e′1,…,e′m)⋅[φ]  или  φе=е′⋅[φ].

  Лемма 2. Пусть e={e1,…,en} – базис в Ln, {a1,…,an} – про­извольная система векторов в Lm. Тогда ∃!  линейное отобра-­

жение φ: Ln → Lm такое, что φ ei= ai,  i=1,…,n.

  Доказательство.

1. Единственность. Пусть искомое φ  существует.  Тогда для

x = имеем  φx = φ()==- отсюда единственность.

2.  Существование. Пусть для произвольного  x = по

определению  φ x = φ()=. (Из п.1 видно, что

никак иначе отображение φ  мы определить и не можем).

Тогда φ - линейное отображение, так как ∀  x = ∈ Ln, 

у = ∈ Ln  и ∀α,β∈ Р  имеем

φ(α x + βу) = φ(α+β)=φ() =

== α+ β= αφ x + βφ у. Кроме того, φ еi=φ(0·е1+…+1·еi+…+0·еn)=0·a1+…+1·ai+…+0·an= ai.

  Замечание. Линейное отображение φ называется продолжением  по  линейности  отображения базисных векторов

φ′: {e1,…,en} → Lm  такого, что  φ′ ei= ai, i=1,…,n.

  Следствия. 1. ∀ т×п-матрицы А ∃! линейное отображение φ : Ln → Lm такое, что =  А – для этого надо выбрать векторы a1,…,an, координаты которых в базисе е′, записанные по столбцам, образуют матрицу А, и применить лемму 2.

2. При фиксированных базисах е в Ln и е′  в Lm  соответс-

твие  φ ↔ является биекцией между множеством линей-

ных отображений из Ln в Lm  и множеством  т×п-матриц.

  Пусть  x ∈Ln, y = φ x∈ Lm. Найдем связь координат векто­ров x  в базисе e  и  y = φ x в базисе  e′.  Если  x = ,

y=φ x= φ()==()=e′i= =, то  yi =  . То есть  []=⋅[] или

[] = ⋅[].

  В матричном виде, следуя (13.1), можно получить эту формулу так: φх = φ(е[x]) = φ(е)⋅[x] = e′[φ]⋅[x] = y =e′[y] ⇒ [y] = [φx] = [φ]⋅[x].

  Важный частный случай линейных отображений.

  Пусть φ: Ln → Ln, e – базис в Ln, то есть  Ln = Lm, n = m,

e = e′.  Тогда  φ  называется линейным оператором (л. о.) или

эндоморфизмом в пространстве Ln. Матрицу (соответственно, ) мы будем обозначать (соответственно, ) и называть матрицей линейного оператора в базисе e. Очевидно, матрица л. о. - квадратная n×n-мат­рица, j-й столбец которой  =[], и  []=⋅[] = ⋅[].

  Ещё один важный частный случай линейных отображений.

  Пусть m=1, то есть Lm= L1 = P, φ: Ln → P, e – базис в Ln, e′={1} – базис в  L1 = P. Тогда φ  называется линейной функцией или линейным функционалом на пространстве Ln, а матрицей φ  является 1× n-матрица-строка.

Лекция 25.

  13.2. Матрица композиции линейных отображений.

Пусть Ln, Lm, Ls - линейные пространства над полем P  с

базисами e, e′, e′′ соответственно, φ: Ln → Lm - линейное отображение с m× n-матрицей    и ψ: Lm → Ls - линейное

отображение с s× m-матрицей  . 

  Утверждение. χ = ψ φ : Ln → Ls - линейное отображение с  s× n-матрицей  = ⋅.

  Доказательство. 1. ∀ a, b∈ Ln, ∀ α,β ∈ P  имеем:

χ(α a+β b)=ψ(φ (α a+β b))=ψ(αφ a+βφ b)=αψ(φ a)+

+βψ(φ b)= αχ a+βχ b – получили линейность χ.

2. Пусть  x ∈ Ln,  y = φ x, (y ∈ Lm), z = ψ y = ψ(φ x), (z ∈ Ls). Тогда [] = [φ]⋅[],  [] = [ψ]⋅[]  ⇒  [] = [ψ]⋅([φ]⋅[])= = ([ψ]⋅[φ])⋅[] = [ψ φ]⋅[]  ⇒  [ψ φ] =[ψ]⋅[φ] – здесь мы воспользовались ассоциатив­ностью умножения матриц и биективным соответствием между линейными отображениями и матрицами.