Лекции по линейной алгебре (стр. 15 )

  Докажем однозначность. Пусть а = β1⋅е1+…+βп⋅еп =

=γ1⋅е1+…+γп⋅еп ⇒ (β1 -γ1 )е1+…+(βп -γп)еп= 0L ⇒ β1 - γ1 =0,…, βп -γп= 0, так как векторы е1,…,еп линейно независимы ⇒

β1 = γ1 ,…, βп = γп – это и означает однозначность.

  Теорема 2 (обратная). Пусть е1,…,еп – такая система векторов в L, что любой вектор а ∈ L  однозначно выражается через е1,…,еп в виде а = β1⋅е1+…+βп⋅еп  для некоторых

β1,…,βп∈ Р. Тогда е1,…,еп – базис линейного пространства L.

  Доказательство. 1. е1,…,еп – линейно независимая система векторов в L, так как если α1⋅е1 +…+αп⋅еп = 0L =

= 0⋅е1 +…+ 0⋅еп, то из однозначности α1= 0,…,αп = 0. Следовательно, в L существуют п линейно независимых векторов.

2. Покажем, что в L любые п+1 векторов линейно зависимы.

Пусть  а1,…,ап+1 ∈ L. Тогда а1 = β11⋅е1+…+β1п⋅еп,…,

ап+1 =βп+1,1⋅е1+…+βп+1,п⋅еп. Покажем, что существуют

х1,…,хп+1 ∈Р, не все равные нулю, такие, что

х1а1+…+хп+1а п+1 = 0. Но  х1а1+…+хп+1а п+1 =

= (β11 х1+…+βп+1,1хп+1)е1+…+(β1п х1+…+βп+1,пхп+1)еп, и однородная система п  уравнений с п+1 неизвестным

  имеет ненулевое решение (см.4.3).

  Таким образом, dim L = n, и е1,…,еп – базис в  L.

  Теорема 3. Если е1,…,еп – базис линейного пространства L, то е1,…,еп – максимальная линейно независимая система векторов в  L, то есть при добавлении к этой системе любого вектора получится линейно зависимая система векторов.

  Доказательство. Так как е1,…,еп – базис, то dim L = n, и из определения размерности следует, что любые п+1 векторов линейно зависимы.

  Теорема 4 (обратная). Если е1,…,еп – максимальная линейно независимая система векторов в L, то е1,…,еп – базис линейного пространства L.

  Доказательство. Пусть а ∈ L. Так как п +1 векторов

а, е1,…,еп  линейно зависимы, то, как и в Теореме 1, вектор а  линейно выражается через  е1,…,еп. Из линейной независимости векторов е1,…,еп, как и в Теореме 1, следует, что выражение  а  через  е1,…,еп однозначно. Теперь по Теореме 2 мы получаем, что е1,…,еп – базис линейного пространства L.

  Теорема 5. dim P n = n.

  Доказательство. Пусть е1 =(1,0,0,…,0), е2 =(0,1,0,…,0),…,

еn =(0,0,0,…,1). Тогда  ∀ (α1,α2,…,αn)∈ Р n 

(α1,α2,…,αn)= (α1,0,…,0)+ (0,α2,…,0)+ …+(0,0,…,αn)=

=α1(1,0,…,0)+ α2(0,1,…,0)+ …+αn(0,0,…,1)= α1⋅е1 +…+αп⋅еп  и это представление однозначно. Значит, по Теореме 2  е1,…,еп – базис в P n, и dim P n = n.

Лекция 14.

  Теорема 6. Любую линейно независимую систему векторов в пространстве L можно дополнить до базиса L.

  Доказательство. Пусть а1,…,аk – линейно независимая система векторов в L. Если это максимальная линейно независимая система векторов, то а1,…,аk – базис линейного пространства L по Теореме 4. Если это не максимальная линейно независимая система векторов, то существует некоторый вектор аk+1 такой, что а1,…,аk, аk+1 - линейно независимая система векторов в L. Опять, если это максимальная линейно независимая система векторов, то а1,…,аk+1 – базис линейного пространства L, а если не максимальная, то добавляем вектор  аk+2  и т. д. пока не получим максимальную линейно независимую систему векторов, то есть базис.

  Пусть е1,…,еп – базис линейного пространства L  и х∈L. Тогда х = х1⋅е1 +…+хп⋅еп, и набор (х1,…,хп) называется координатами вектора х в базисе е1,…,еп.

  Упражнение. Доказать, что если (х1,…,хп) координаты вектора х, а (у1,…,уп) координаты вектора у  в базисе е1,…,еп, то координатами вектора х+у будет набор (х1+у1,…,хп+уп), а координатами вектора α х,  α∈Р,  будет набор (α х1,…,α хп).

  7.3. Изоморфизм линейных пространств.

  Определение. Отображение φ : L1 → L2  линейных пространств над полем Р называется изоморфизмом линейных пространств, если

φ - биекция, φ - линейное отображение линейных пространств, то есть φ(х+у)= φ х +φ у, φ(α х) =α φ х  ∀х, у∈L1,  ∀α∈Р.

  Тот факт, что линейные пространства L1 и L2  изоморфны, обозначают  L1 ≈ L2 .

  Упражнение. Доказать, что если φ :L1→ L2 - изоморфизм линейных пространств, то φ(0L)= 0L, φ(- a)=- φ(a) ∀ a∈ L1.

  Утверждение. Если L1 ≈ L2 , то L2 ≈ L1 (это симметричность изоморфизма).

  Доказательство. Пусть отображение φ :L1→ L2 - изоморфизм линейных пространств. Так как φ - биекция, то существует отображение φ -1, и φ -1– биекция. Покажем, что φ -1- линейное отображение. Пусть φ -1х = а, φ -1у = b. Тогда φ а = х, φ b = у ⇒  φ(а + b)= х + у ⇒ φ -1(х + у)= а + b =φ -1х+φ -1у,

φ(α а) = α х ⇒  φ -1(α х)= α а = α φ -1х.

  Упражнения.

1. Доказать, что L1 ≈ L1 (это рефлексивность изоморфизма).

2. Доказать, что если L1 ≈ L2  и L2 ≈ L3 , то  L1 ≈ L3 (это транзитивность изоморфизма).

  Таким образом, отношение изоморфности между линейными пространствами рефлексивно, симметрично и транзитивно. Следовательно, все линейные пространства разбиваются на непересекающиеся классы изоморфных.

  Утверждение. Если L1 ≈ L2 , то dim L1 = dim L2.

  Доказательство. Пусть φ : L1 → L2 - изоморфизм линейных пространств, и е1,…,еп – базис линейного пространства L1. Покажем, что φе1,…,φеп – базис линейного пространства L2. В самом деле, если  у∈ L2 , то φ -1у∈ L1 ,

φ -1у=α1⋅е1 +…+αп⋅еп ⇒ у = α1φе1 +…+αпφеп. Кроме того,  φе1,…,φеп – линейно независимы, так как если 

α1φе1 +…+αпφеп = 0, то φ(α1е1 +…+αпеп) = 0 = φ (0) ⇒ 

α1е1 +…+αпеп = 0 (из инъективности  φ) ⇒ α1 =…=αп = 0.

  Таким образом, любой вектор из  L2  представляется в виде линейной комбинации векторов φе1,…,φеп, и из их линейной независимости следует, что это представление однозначно (см. Теорему 1). Из Теоремы 2 следует, что φе1,…,φеп –

базис в L2 .

  Теорема. Если  dim L = n, то  L ≈ P n.

  Доказательство. Пусть dim L = n, и е1,…,еп – базис в L. Рассмотрим  φ : L → P n  такое, что ∀ х = х1е1 +…+хпеп ∈ L 

φ х= (х1 ,…,хп)∈ P n. Из однозначности представления х в виде х = х1е1 +…+хпеп  следует, что φ  определено корректно. Биективность φ  очевидна. Линейность φ  требовалось доказать в упражнении в 7.2.

  Следствие. Все пространства одной размерности изоморфны. И значит, пространства изоморфны тогда и только тогда, когда у них одинаковая размерность. Таким образом, класс изоморфных друг другу пространств полностью задается размерностью любого из этих пространств. И для любой размерности п с точностью до изоморфизма существует лишь одно пространство размерности п. Например, пространство P n. Все остальные пространства размерности п ему изоморфны.

  7.4. Подпространства.

  Пусть L - п-мерное линейное пространство над полем Р (так как L ≈ P n, то, не теряя общности, можно было бы считать, что  L = P n).

  Утверждение. Пересечение любого семейства подпространств в L  является подпространством.

  Доказательство. Пусть Li, i∈ I, - подпространства в L, где I – некоторое множество индексов, L′ = . Докажем, что  L′ - подпространство в L.

I. Пусть х, у∈ L′ ⇒ х, у∈ Li  ∀ i∈ I ⇒ х+ у, α х∈ Li  ∀ i∈ I, ∀α∈ P ⇒ х+ у, α х∈ = L′.

II.2. Так как 0L ∈ Li  ∀ i∈ I ⇒ 0L ∈= L′.

  Утверждение. Пусть L1, L2 – подпространства, и L1⊆ L2 .

Тогда  dimL1≤ dimL2 , и если dimL1= dimL2 , то L1= L2 .

  Доказательство. Пусть L1⊆ L2. Тогда базис подпространства L1  является линейно независимой системой векторов в L2 , и её можно дополнить до базиса L2 . И значит, число векторов в базисе L2 не меньше, чем число векторов в базисе L1, то есть  dimL1≤ dimL2. Если же dimL1= dimL2 , то любой базис

подпространства L1  является базисом подпространства L2 , и любой вектор из  L2 , являясь линейной комбинацией базисных векторов, содержится в  L1. Следовательно, L2⊆ L1⇒

L2= L1.

  Рассмотрим способы задания подпространств в L.

  Определение. Пусть векторы а1,…,аm∈L. Линейной оболочкой системы векторов {а1,…,аm} называется 3)наименьшее 1)подпространство в L, 2)содержащее векторы  а1,…,аm. Эту линейную оболочку мы будем обозначать <а1,…,аm>.

  В нашем определении для линейной оболочки требуется выполнение трех условий: 1) <а1,…,аm> - подпространство, 2) это подпространство должно содержать векторы  а1,…,аm, 3) среди всех таких подпространств линейная оболочка – наименьшее (по включению) подпространство, то есть содержится в любом другом подпространстве, для которого выполняются условия 1), 2).