Лекции по линейной алгебре (стр. 44 )

  Таким образом, чтобы найти векторы искомого базиса  и

нужно для каждого  λi  решить СЛУ  ( -λi)[x]′= [0].

  Различным значениям λi соответствуют  g-ортогональные друг другу решения системы, и, если dim Ker(- λ i)= 1, то найденное решение  x  необходимо лишь нормировать (по  g), то есть разделить его на длину . Если же имеются кратные корни λi характеристического уравнения =0, то dim Ker(- λ i) > 1, и найденные фундаментальные системы решений для СЛУ необходимо ортонормировать в смысле  g, например, по Граму-Шмидту. После этой процедуры мы получим ортонормированный базис . И теперь для получения базиса  и  надо перейти к базису, «комплексно сопряженному» к базису  .

Лекция 39.

ГРУППЫ

Далее будем считать, если не оговорено противное, что

G – мультипликативная группа (то есть  групповую опера­цию в  G  мы будем называть умножением), ε - нейтрал в  G.

28.1. Теорема Лагранжа.

  Пусть G – группа, и H – подгруппа в G. Введем на множестве  G  бинарное отношение ~ :  для элементов  g1, g2 ∈ G  будем считать по определению, что  g1 ~ g2  ⇔  g1g2-1∈ Н. Выражение  g1g2-1 называется групповой разностью.

  Очевидно,  g1g2-1= h ∈ Н ⇔ g1= h g2.

  Утверждение.  Отношение ~  является отношением эквивалентности на  G.

  Доказательство. Очевидно, отношение ~ - рефлексивно, то есть  ∀g∈ G  g ~ g, так как  g g -1 = ε ∈ H. Кроме того, отношение  ~  - симметрично, так как если  g1 ~ g2, то 

g1g2-1= h ∈ Н ⇒ h -1∈H, h -1= g2g1-1∈ H ⇒ g2 ~ g1 . И наконец, отношение ~ - транзитивно, так как если  g1~ g2,  g2 ~ g3, то  g1g2-1= h1∈ Н,  g2g3-1= h2 ∈ Н ⇒  h1h2 = g1g3-1∈ Н ⇒ g1 ~ g3.

  Таким образом, множество  G  разбивается в объединение непересекающихся классов эквивалентных элементов. Причем  cl g1 = {g ∈ G| g ~ g1} = {g ∈ G| g = hg1, h ∈ Н } = Hg1 . Класс  Hg1 называется правым смежным классом элемента g1  по подгруппе Н. Аналогично, левым смежным классом элемента g1  по подгруппе Н  называется подмножество  g1H.

  Упражнение. Найти фактормножество  G / ~  в случаях, когда  H = G  и  H = {ε}.

  Пусть  G – конечная группа, и число элементов группы G  равно  п:  |G| = n.  Число элементов группы называется порядком группы. Пусть  Н – подгруппа в  G,  |H| = m.

  Теорема Лагранжа.  m | n,  причем  n = km, где  k – число правых смежных классов группы  G  по подгруппе  Н.

  Доказательство. Пусть  H = { h1,…, hm}. Тогда 

Hg ={ h1g,…, hmg }, причем все элементы  h1g,…,hmg – различ-

ны, так как если  hig = hjg, то  higg -1 = hjgg -1 ⇒ hi = hj. Следовательно,  |Hg| = m = |H|, то есть число элементов во всех правых смежных классах одинаково и равно т. Так как количество смежных классов равно  k, они не пересекаются и их объединение совпадает с  G, то  n = mk ⇒ m = n / k. 

  Аналогично доказывается теорема Лагранжа для левых смежных классов  группы  G  по подгруппе  Н.  И количество их  также равно  n / k = т. 

  Определение. Количество смежных классов (правых или левых) группы  G  по подгруппе  Н  называется индексом подгруппы  Н  в группе  G  и обозначается  (G:H).

  В новых обозначениях теорема Лагранжа может быть сформулирована так:  |G| / |H| = (G:H).

  28.2. Факторгруппы.

  Пусть G – произвольная, не обязательно конечная группа.

  Замечание. Так как  ∀ a, b∈ G  (ab)(b -1a -1)= a(bb-1)a -1 =

= aεa -1 = ε, то  (ab) -1 = b -1a -1.

  Теорема. Для подгруппы  H ⊂ G  эквивалентны следующие 4 условия:

1. ∀ h ∈ H, ∀ g ∈ G  g -1hg ∈ H;

2. ∀ g ∈ G  g -1Hg ⊆ H;

3. ∀ g ∈ G  g -1Hg = H;

4. ∀ g ∈ G  Hg = gH – то есть правые и левые смежные класы совпадают.

  Доказательство. Очевидно, 1 ⇔ 2 – это одно и то же условие, записанное в 1 для элементов, а в 2 для множеств. Также очевидно, что  3 ⇒ 2. Покажем, что  2 ⇒ 3. Заменим в условии  2  элемент  g  на  g-1. Получим  gHg -1⊆ H. Умножим это включение слева на g -1 и справа на g. Получим H⊆ g-1Hg. Это включение вместе с включением из 2 дает равенство 3. Следовательно, 2 ⇔ 3.  И наконец, равенство 4 получается  умножением равенства 3 на  g  слева, а равенство 3 получает-

ся умножением равенства 4 на  g -1  справа. То есть 3 ⇔ 4.

  Определение. Подгруппа  H ⊂ G  называется нормальной

подгруппой (или нормальным делителем)  в  G,  если для  Н выполняется любое из четырёх эквивалентных условий теоремы (а, следовательно, и все четыре условия).

  Очевидно, в коммутативной группе любая подгруппа – нормальная.

  В случае нормальной подгруппы Н фактормножество G/~

мы будем обозначать G / H. В этом случае левые и правые смежные классы совпадают, и их можно просто называть смежными классами. Обозначать смежный класс элемента g  мы будем  .

  Очевидно, тривиальные подгруппы {ε} и  G – нормальны.

  Пусть  Н – нормальная подгруппа в  G. Зададим на фактормножестве  G / H  структуру группы.

I. Пусть для  , ∈ G/H  по определению ⋅= .

  Утверждение. Определение умножения на  G/H коррект-

но, то есть не зависит от выбора представителей в классах и .

  Доказательство.  Пусть  g1′∈,  g2′∈ - другие представители в классах. Покажем, что  g1′g2′ ∈ , то есть g1′g2′ ~ g1g2.  В самом деле,  g1′ ~ g1 ,  g2′ ~ g2 ⇒  g1′ = h1g1, g2′= h2g2 ⇒ g1′g2′= h1g1h2g2=h1g1h2(g1-1g1)g2= h1(g1h2g1-1)g1g2= = h1h′g1g2 = h′′g1g2, и  h′′∈ H ⇒  g1′g2′ ~  g1g2, = .

II. Проверим свойства из определения группы.

1. () = ⋅ = = = () – ассоциативность в  G / H  выполняется.

2. = = = , то есть в  G / H  ∃  нейтральный элемент  .