Лекции по линейной алгебре (стр. 14 )

  Но мы докажем теорему иначе. Пусть поле P содержит под­поле Р1. Тогда Р1 ? 0Р, 1Р, 1Р+1Р=2(1Р), 2(1Р)+1Р =3(1Р),…, n(1Р)  (∀n ∈ N), (- n)(1Р)  (∀n ∈ N), ±(n(1Р))- 1 (∀n ∈ N), m(1Р)⋅(n(1Р))- 1  (∀n ∈ N, m ∈ Z). Пусть

Р0={m(1Р)⋅(n(1Р))- 1| n∈ N, m∈ Z}= {| m∈ Z, n∈ N}. Тог­да Р0 - подполе, так как

I.+=∈ Р0  (*) 

и  =∈ Р0  ∀ , ∈ Р0 ,  (**)

II.2.  при m = 0, n = 1  получаем, что 0P ∈ Р0 ,

3. - =∈ Р0 , 6. при m = 1, n = 1 получаем, что  1P∈ Р0 , 7. при  m ≠ 0  = ∈ Р0  - при m 0 здесь используется правило знаков из 6.2. Выполнение остальных свойств из определения поля в Р0  следует из выполнения их в поле Р.

  Подполе  Р0  - наименьшее, так как любое другое подполе Р1 содержит Р0. Отсюда следует, что Р0  - простое подполе, так как оно не содержит собственных (меньших) подполей.

  Докажем, что поле Р0  изоморфно полю Q. Определим отображение φ: Q → Р0  так:  пусть ∀ ∈ Q  по определению φ()=∈ Р0 . Тогда φ - инъекция. В самом деле, если  φ()=φ(), то  = ⇒ m(1Р)⋅n′(1Р) =

= m′(1Р)⋅n (1Р) ⇒ (mn′)(1Р) =(m′n)(1Р)⇒ (mn′ - m′n)(1Р))=0Р ⇒

mn′ - m′n = 0 (так как char P = 0) ⇒ = . Сюръективность φ  очевидна. Таким образом, φ - биекция. Сохранение операций при φ  следует из (*) и (**). Следовательно,  φ - изоморфизм.

  Теорема.  Пусть Р – поле, и char P = р. Тогда

1)  P содержит наименьшее (по включению) подполе Р0 ,

подполе Р0 – простое, Р0 ≈ Zp. 

  Доказательство аналогично доказательству предыдущей теоремы 3.

  Упражнение. Доказать эту теорему.

Лекция 13.

7. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

  7.1. Определения, примеры.

  Пусть Р – произвольное поле.

  Определение. Множество L называется  линейным (или векторным) пространством над полем  Р, если

I. на L определены бинарная операция, обозначаемая знаком +, и множество унарных операций умножения на элементы из поля Р, то есть ∀ a, b∈ L определен результат операции 

a+b∈L, и ∀a∈L, α∈P определен результат операции α⋅a∈L, и

II. для этих операций выполнены 8 свойств:

1. (a + b)+ c = a + (b + c)  ∀ a, b, c∈ L.

2. ∃ элемент 0L∈ L такой, что a + 0L= 0L +a = a  ∀a∈ L.

0L  называется нейтральным элементом по сложению в L (или нейтралом по сложению или нулевым элементом). Когда ясно, о каком нулевом элементе идет речь, мы будем писать 0 без индекса L.

  3.∀ a∈ L  ∃  элемент a′∈ L такой, что a′ + a = a + a′ = 0L.

a′  называется элементом, противо­положным к a и обозначается - a. 

  4.  a + b = b +  a  ∀ a, b ∈ L,

  5. α (a+b) = α a + α b  ∀ a, b ∈ L  ∀ α ∈ P,

  6. (α+β) a = α a+β a, ∀ a∈ L  ∀ α, β ∈ P,

  7.  (αβ) a = α(β a)  ∀ a∈ L  ∀ α, β ∈ P,

  8.  1P⋅ a = a  ∀ a∈ L.

  Элементы линейного пространства называются векторами.

  Если рассматривать линейное пространство как универсальную алгебру с множеством операций Ω, то

Ω = {+,-(.), 0L,α⋅|α∈P }.

  Определение. Подмножество L1⊆ L называется подпространством линейного пространства L, если L1 само является линейным пространством относительно тех же операций Ω.

  Упражнения.

1. Доказать, что L1 - подпространство в L тогда и только тогда, когда в  L1 выполняются свойства I и II.2 из определения линейного пространства, то есть ∀ a, b∈ L1  a + b∈ L1; ∀a∈L1, α∈P  α⋅a∈L1 ;  0L∈ L1.

2. Доказать, что в любом линейном пространстве L подмножества {0L} и L являются (тривиальными) подпространствами.

  Примеры линейных пространств. 

  1. Поле Р  является линейным пространством над Р.

  2. Поле является линейным пространством над любым своим подполем.

  3. Множество непрерывных функций C[a, b] на отрезке [a, b] со значениями в поле R является линейным пространством над полем R.

  4. Множество функций F(M) на множестве М со значениями в поле Р является линейным пространством над Р.

  5. Множество многочленов Р[x] от х с коэффициентами в поле Р  является линейным пространством над Р.

  Упражнения.

1. Проверить, что эти множества являются линейными пространствами.

2. Доказать, что в линейном пространстве L  α⋅ 0L=0L  ∀α∈P,

0P⋅a = 0L, (-1)a = - a  ∀a∈L.

  Утверждение. Множество L = Р n ={(α1,…,αn)| все αi∈P} является линейным пространством над полем Р.

  Доказательство. I. Пусть по определению для элементов из  Р n  (α1,…,αn)+ (β1,…,β n)= (α1+β1,…,αn+β n),

α⋅(α1,…,αn)= (α⋅α1,…, α⋅αn).

  II. 1. Из ассоциативности сложения в P следует, что

((α1,…,αn)+(β1,…,β n))+(γ1,…,γ n)=((α1+β1)+γ1,…,(αn+β n)+ +γn)= (α1+(β1+γ1),…,αn+(β n+γn)) =(α1,…,αn)+((β1,…,β n) + +(γ1,…,γ n)).

  2. Очевидно,  (α1,…,αn)+(0,…,0)= (0,…,0) + (α1,…,αn) =

= (α1,…,αn)  ∀(α1,…,αn)∈ Р n. То есть (0,…,0)= -  в  Р n существует нейтрал по сложению.

  3. Очевидно, (α1,…,αn)+ (-α1,…,-αn)= (0,…,0), то есть в Р n

∀ (α1,…,αn)  существует противоположный элемент.

  Упражнение. Доказать свойства 4 – 8 из определения линейного пространства. 

  Определения.

1. Пусть элементы a1,…,ak ∈ L,  α1,…,αk∈ Р. Выражение α1⋅a1+…+αk⋅ak  называется линейной комбинацией элементов  a1,…,ak.

2. Говорят, что элементы a1,…,ak ∈ L линейно зависимы, если существуют  α1,…,αk∈ Р, не все равные нулю, такие, что α1⋅a1+…+αk⋅ak = 0L. Соответственно, элементы a1,…,ak ∈ L линейно независимы тогда и только тогда, когда из равенства α1⋅a1+…+αk⋅ak = 0L следует, что все αi = 0.

3. Говорят, что размерность линейного пространства L равна

п, если в  L существуют п линейно независимых векторов, а

любые п+1 векторов линейно зависимы. Размерность линейного пространства L будем обозначать dim L.

4. Говорят, что размерность линейного пространства L бесконечна, если в  L ∀п  существуют  п  линейно независимых векторов.

5. Если dim L = п, то любые п  линейно независимых векторов в L  будем называть базисом линейного пространства L.

  Далее, если не оговорено противное, мы будем рассматривать лишь конечномерные линейные пространства.

  7.2. Теоремы о базисах.

  Теорема 1. Пусть е1,…,еп – базис линейного пространства L. Тогда любой вектор а ∈ L  однозначно выражается через базис в виде а = β1⋅е1+…+βп⋅еп  для некоторых β1,…,βп∈ Р.

  Доказательство. Пусть а ∈ L. Так как  dim L = п, то п+1 векторов а, е1,…,еп линейно зависимы, то есть ∃ α,α1,…,αп∈Р, не все равные нулю, такие, что α⋅а +α1⋅е1+…+αп⋅еп=0L, причем α ≠ 0, так как векторы е1,…,еп линейно независимы. Тогда а=α -1α1⋅е1+…+α -1αп⋅еп=β1⋅е1+…+βп⋅еп, где β1=α -1α1,…, βп =α -1αп.