Лекции по линейной алгебре (стр. 46 )

∀g∈ G1  (ican)(g) = i((can(g)))= i(()) = i(φg)= φg ⇒  ican = φ .  Таким образом, нами доказана

  Теорема о разложении морфизма. Если  φ :  G1 →  G2 - морфизм групп, то коммутативна следующая диаграмма:

, то есть ican = φ ,

причем  сап – эпиморфизм,  - изоморфизм,  i - мономорфизм групп.

  Следствие. Для того, чтобы найти факторгруппу  G / H группы  G  по нормальной подгруппе  Н  достаточно найти морфизм  φ  группы  G  такой,  что  Ker φ = H.  И  тогда

G / H ≈  Im φ .

  Пример. Пусть G = С* - (коммутативная) группа ненуле-

вых комплексных чисел по умножению, Н=Un= {z∈ C| zn= 1} – множество корней  п-й степени из 1.

  Пример. Доказать, что  Un  - подгруппа в С* (и следовательно, нормальная подгруппа).

  Найдем  G / H = С*/ Un. Для этого рассмотрим отображение  φ : С* → С*  такое, что  ∀ z ∈ C*  φ z = zn. Очевидно,

1. φ  - морфизм (эндоморфизм группы  C*), так как  φ(z1z2)= = (z1z2)n = z1nz2n = φ z1φ z2 .

2. Ker φ = H = Un. Отсюда, в частности, следует Упражнение.

3. Im φ = C*, так как  ∀ и∈ C*  ∃ z∈ C* такой, что  и = zn=φ z. Следовательно,  С*/ Un  ≈  С*.

  28.5. Циклические группы.

  Пусть  G – группа,  g ∈ G. Будем считать по определению, что для  n∈ Z  g n =   при  n ∈ N,  g n = ε, при  n = 0,  g n = (g - n) -1  при  - n∈N.

  Упражнение. Доказать, что  g ng m = g n+m, (g n)-1= g - n  ∀ n,

m ∈ Z.

  Определение. Циклической подгруппой элемента  g  называется  3)наименьшая  1)подгруппа  в  G,  2)содержащая эле-

мент  g.

  Обозначать циклическую подгруппу элемента  g  мы будем  <g>. Элемент  g  называется образующим элементом циклической группы  <g>.

  Пусть  В = {g n | п ∈ Z}.

  Утверждение.  В = <g>.

  Доказательство.

0. Рассмотрим некоторую подгруппу А ⊆ G такую, что  g∈ A. Очевидно,  g⋅g = g 2 ∈ A,  g⋅ g 2 = g 3∈ A,…, g п∈ A  ∀п ∈ N  и ∀п ∈ Z. 

1. Пусть  g s, g t∈ В  ⇒  g sg t = g s+t∈В, (g s)-1= g - s∈В, ε = g 0∈ В ⇒ В – подгруппа в  G.

2. g = g 1∈ В.

3. Если подгруппа А? g, то  А ⊇ В (из п.0) ⇒ В – наименьшая подгруппа, содержащая элемент  g  ⇒ В = <g>.

  Рассмотрим  циклическую  группу  <g> = {g n | п ∈ Z }.

Возможны два случая:

1. Все элементы  g n - различны. Тогда |<g>| = ∞, <g> - бесконечная циклическая группа.

2. Существуют  m ≠ n  такие, что  g т = g n. Можно считать, что  т > n. Тогда  g т-п = ε,  т – п ∈ N. Пусть  d – наименьшее натуральное число такое, что  g d = ε. Тогда  d  называется порядком элемента  g: пор. g = d  (в случае 1 пор. g =∞).  Пусть  пор. g = d < ∞.  В этом случае, если  п ∈ Z, то, разделив  п  на  d  с остатком, получим:  п = dq + r,  0 ≤ r < d,  и 

g n = g dq+r = (g d)qg r =ε g r = g r ⇒  <g> = {g r | r = 0,1,…,d-1} ⇒ |<g>| = d  - порядок циклической группы равен порядку образующего элемента этой группы. 

  Следствие. g n = ε  ⇔  d | n.

  Упражнения.

1. Доказать, что  Z – бесконечная  циклическая  (аддитивная)

группа. Найти все возможные образующие элементы этой группы.

2. Доказать, что Zт – конечная циклическая (аддитивная) группа. Найти все возможные образующие элементы этой группы.

3. Найти все подгруппы группы  Z.

4. Доказать, что подгруппа циклической группы – цикличе­ская группа.

  Пусть  g ∈ G.  Рассмотрим отображение  φ :  Z → G  такое, что  φ(п) = g n  ∀ п ∈ Z.  Очевидно,  φ -  морфизм групп, так как  φ(т+п) = g т+п = g т g п = φ т ⋅ φ п.  Кроме того,

Im φ = <g>,  Ker φ = {n ∈ Z | g п = ε }.  Если  Ker φ = { 0 }, то  по Теореме о разложении морфизма  Im φ = <g> ≈ Z / Kerφ = = Z / { 0 } ≈ Z, то есть  < g > - бесконечная циклическая группа. Если же  Ker φ ≠ { 0 }, то  Ker φ = d⋅Z,  Im φ = <g> ≈ ≈ Z / Kerφ = Z / d⋅Z ≈ Zd,  то есть  < g > - конечная циклическая группа. Следовательно, любая бесконечная циклическая группа изоморфна аддитивной группе  Z, любая конечная циклическая группа изоморфна аддитивной группе  Zd.

Литература, использованная при подготовке Курса лекций:

1. Попов по линейной алгебре, ч.1.- М.: Изд-во РУДН, 2006

2. , Попов в теорию линейных операторов.- М.: Изд-во РУДН, 2003

СОДЕРЖАНИЕ

Лекция 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1. Комбинаторика. Бином Ньютона. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Лекция 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2. Комплексные числа. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Лекция 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3. Соответствия. Функции. Отношения. Отношение

эквивалентности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Лекция 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Лекция 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4. Системы линейных уравнений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Лекция 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Лекция 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

5. Определители. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26

Лекция 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Лекция 9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Лекция 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Лекция 11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

6. Группы, кольца, поля. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Лекция 12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

Лекция 13. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

7. Линейные пространства. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Лекция 14. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

Лекция 15. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

Лекция 16. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

8. Системы линейных уравнений (продолжение) . . . . . . . . . 70

Лекция 17. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

Лекция 18. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

9. Матрицы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . 79

Лекция 19. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

Лекция 20. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

10. Алгебра многочленов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

Лекция 21. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

Лекция 22. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

Лекция 23. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

11. Поле рациональных функций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  99

Лекция 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .103

12. Прямые суммы подпространств. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

13. Линейные отображения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

Лекция 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .110

Лекция 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .113

14. Матрица перехода от одного базиса к другому. . . . . . .113

15. Образ и ядро линейного отображения. . . . . . . . . . . . . . 117

Лекция 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .119

16. Инвариантные подпространства. . . . . . . . . . . . . . . . . . .120

Лекция 28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .127

17. Диагонализируемые линейные операторы. . . . . . . . . . .130

Лекция 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .133

18. Евклидовы векторные пространства. . . . . . . . . . . . . . . . 133

Лекция 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .137

19. Ортогональные линейные операторы. . . . . . . . . . . . . . . 138

Лекция 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .144

20. Самосопряженные линейные операторы  . . . . . . . . . . . .144

Лекция 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .149

21. Унитарные векторные пространства. . . . . . . . . . . . . . . .149

22. Унитарные линейные операторы. . . . . . . . . . . . . . . . . . .151

Лекция 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .154

23. Эрмитовы линейные операторы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

Лекция 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .157

24. Билинейные и квадратичные формы  . . . . . . . . . . . . . . . 157

Лекция 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .163

Лекция 36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .168

25. Квадратичные формы в евклидовом пространстве. . . .168

Лекция 37 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .172

26. Эрмитовы формы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

Лекция 38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .177

27. Эрмитовы формы в унитарном пространстве. . . . . . . . 177

Лекция 39 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .181

27. Группы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .181

Лекция 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .186