Лекции по линейной алгебре (стр. 7 )

0 =det(А1 ,…,Аi+Аi+1 ,Аi+Аi+1 ,…,Аn) = det(А1 ,…, Аi, Аi,…, Аn)+ + det(А1 ,…, Аi+1 , Аi,…, Аn) + det(А1 ,…, Аi, Аi+1 ,…, Аn) +

+ det(А1 ,…, Аi+1 , Аi+1 ,…, Аn) – в этой сумме 1-е и 4-е слагаемые по утверждению 3 равны 0 , то есть

det(А1 ,…, Аi+1 , Аi,…, Аn)+ det(А1 ,…, Аi, Аi+1 ,…, Аn)= 0 ⇒

det(А1 ,…, Аi, Аi+1 ,…, Аn) = - det(А1 ,…, Аi+1 , Аi,…, Аn).

  Утверждение 5.  Если у матрицы А при i ≠ j  Аi = Аj, то

|A|= 0 – то есть определитель, у которого две строки одинаковые, равен нулю.

  Доказательство. При j = i+1 определитель равен нулю по утверждению 3. Пусть j > i+1. Переставим  j-ю строку с  (j -1)-й, затем с (j -2)-й, с (j -3)-й  и т. д. пока не дойдем до

(i +1)-й и не получим определитель с двумя одинаковыми соседними строками – этот определитель по утверждению 3 равен нулю. Каждый раз при перестановке соседних строк по утверждению 4 определитель менял  знак. После всех этих перестановок строк мы получим окончательный нулевой определитель, который отличается от нашего первоначального, может быть, разве что только знаком. Значит, и наш первоначальный определитель тоже равен нулю.

  Утверждение 6.

det(А1 ,…, Аi,…,Аj,…, Аn) = - det(А1 ,…, Аj,…, Аi,…, Аn) – то есть если у определителя поменять местами i-ю и j-ю строки, то он изменит знак.

  Доказательство аналогично доказательству утверждения 4.

  Упражнение. Доказать утверждение 6.

  Свойство определителя из утверждения 5 называется свойством кососимметричности (или антисимметричности) определителя по строкам. 

  Итак, нами доказана

  Теорема. Определитель матрицы является полилиней­ной кососимметричной функцией строк этой матрицы.

  5.2. Вычисление определителей.

  Как следует из утверждения 6, при элементарных преобразованиях II-го типа над строками матрицы определитель меняет знак.

  Утверждение 7. При элементарных преобразованиях I-го типа над строками матрицы определитель не меняется.

  Доказательство. det(А1 ,…, Аi+cАj,…, Аj,…, Аn) =

= det(А1 ,…,Аi,…, Аj,…, Аn) + det(А1 ,…,cАj,…, Аj,…, Аn)=

= detА + сdet(А1 ,…,Аj,…, Аj,…, Аn) = detА + с⋅ 0 = detА.

  Как доказано в Теореме в п.4.2 матрицу А с помощью элементарных преобразований над строками можно привести к ступенчатому виду . Пусть при этом t - количество ЭП-II.  Если  rgA n, то в матрице существует нулевая строка. В частности п-я строка = (0, 0,…,0) = 0⋅  и |A| = (-1)t|| = =(-1)tdet(,…,)=(-1)tdet(,…,0⋅)=(-1)t0⋅det(,…,)=

= 0.

  Если  rgA = n, то  матрица имеет треугольный вид

= , и || = =…,  а

|A| = (-1)t|| =(-1)t….

Лекция 8.

5.3. Обратная теорема об определителях.

  Мы доказали, что определитель матрицы является полилинейной кососимметричной функцией строк этой матрицы. Теперь нас интересует вопрос, насколько много таких функций. Оказывается, что с точностью до пропорциональности других таких функций нет. Другими словами, имеет место

  Обратная теорема. Пусть F(A) – полилинейная кососим­метричная функция строк (п×п)-матрицы А. Тогда F(A)= с|A|, где  с∈ Р, с = F(E), а Е – единичная матрица,

Е = .

  Доказательство.

Рассмотрим функцию матрицы F(A) как функцию

F(А1,…,Аn) строк А1,…,Аn матрицы A. Полилинейность функции F по строкам означает линейность по любой i-й строке. То есть для любого i  должны выполняться два свойства:

F(А1 ,…, Аi+А′i,…, Аn) = F(А1 ,…, Аi,…,Аn)+ F(А1 ,…,А′i,…, Аn), F(А1 ,…, cАi,…, Аn) =cF(А1 ,…, Аi,…,Аn).

Кососимметричность функции F по строкам означает, что если при i ≠ j  Аi = Аj, то F(А1 ,…,Аi,…, Аj,…, Аn) = 0.  Из свойства кососимметричности, как и в утверждении 6 для определителей следует, что

F(А1 ,…, Аi,…,Аj,…, Аn) = - F(А1 ,…, Аj,…, Аi,…, Аn), то есть при ЭП-II  над строками функция F, как и det, меняет знак. А при ЭП-I  функция F, как и det, не меняется – доказательство этого аналогично доказательству утверждения 7.

  2. Приведем матрицу А с помощью элементарных преобразований над строками к ступенчатому виду . Пусть при этом  t  -  количество ЭП-II.  Если  rgA n, то  в матрице п-я строка = (0, 0,…,0)  и |A| = (-1)t|| = 0. Аналогично F(A) = (-1)tF() = (-1)tF(,…,) = (-1)tF(,…,0⋅) =

= (-1)t0⋅F(,…,)= 0. И значит, F(A) = c|A|.

  3. Если  rgA = n, то матрица - треугольная, то есть

= ,  и  |A| = (-1)t|| =(-1)t…≠ 0.

Приведем к диагональному виду с помощью ЭП-I следующим образом: вычтем п-ю строку из всех предыдущих строк с подходящими коэффициентами так, чтобы над везде получились бы нули. Затем вычтем (п – 1)-ю строку из всех предыдущих строк с подходящими коэффициентами так, чтобы над везде получились бы нули. Продолжим эту процедуру до конца, пока не получим из с помощью только ЭП-I диагональную матрицу

= = diag.

Тогда строки = (, 0,…,0)= (1, 0,…,0),

= (0,, 0,…,0)= (0,1, 0,…,0)  и т. д.,

и F(A)=(-1)tF() =(-1)tF() = (-1)t…F(E)=F(E)⋅|A|.