Лекции по линейной алгебре (стр. 29 )

  Обратно, если в некотором базисе  е  матрица [] имеет

вид (16.2), то Ln=L1⊕L2  - прямая сумма φ-инвариантных подпространств  L1  и  L2 , где L1= <е1,…,еm>, L2= <еm+1,…, еn>.

  Вывод:  Ln  распадается в прямую сумму φ-инвариантных

подпространств ⇔ [] в некотором базисе е имеет блочно - диагональный вид (16.2).

  16.3. Прямая сумма линейных операторов.

  Пусть Ln=L1⊕…⊕Lk и ∀i=1,…,k определен ли­нейный оператор φ i : Li→ Li c матрицей [] в базисе е i={е1 i,…,} подпространства Li.

  Теорема. ∃ ! линейный оператор φ : Ln → Ln  такой, что  = φ i.

  Доказательство. 

1. Единственность. Пусть искомый л. о. φ  существует. Тогда ∀х∈ Ln,  х = х1+…+ хk, где все  хi∈ Li, и φ х = φ х1+…+φ хk  =  = φ1 х1+…+ φk хk – отсюда следует единственность л. о. φ .

2. Существование. Определим линейный оператор φ : Ln→ Ln  так: пусть ∀х∈ Ln,  х = х1+…+ хk  (где все  хi∈ Li) ,

φ хφ1 х1+…+ φk хk (из пункта 1 видно, что никак иначе определить л. о. φ  мы и не можем). Тогда

φ хi=φ(0+…+ хi+…+0)=φ10+…+φiхi+…+φk0= φi хi, то есть ∀i  имеем  φ|Li=φ i. Из линейности операторов φ i  легко следует линейность оператора φ .

  Упражнение. Доказать линейность оператора φ.

  Определение. Построенный линейный оператор φ называется прямой суммой линейных операторов φ1,…,φk  и обозначается  φ1∔…∔ φk  или  φ1⊕…⊕φk.

  В базисе е пространства Ln, полученном объединением базисов е1,…,еk, матрица []= []∔…∔[]. Кроме того, можно увидеть, что все Φ(Li) (см. п.13.5) естественным образом инъективно вкладываются в Φ(Ln), сумма их в Φ(Ln) является прямой:

Φ(Ln)⊃ Φ(L1) ⊕…⊕ Φ(Lk), и φ1∔…∔ φk ∈Φ(L1) ⊕…⊕ Φ(Lk).

  В случае прямой суммы двух φ-инвариантных подпространств Ln=L1⊕ L2  получаем φ = φ|L1∔φ|L2 .

  16.4. Собственные векторы и собственные значения

линейных операторов.

  Мы установили, что упростить вид матрицы л. о. φ : L→ L можно, если у этого оператора существует хотя бы одно инвариантное подпространство в L. Еще лучше с упрощением матрицы дело обстоит тогда, когда в L существует два φ- инвариантных подпространства и сумма их – прямая. Вообще, чем больше в  L имеется φ-инвариантных подпространств, сумма которых – прямая, тем сильнее можно упростить матрицу л. о. φ . Самая лучшая ситуация с упрощением матрицы имеется тогда, когда L равно прямой сумме  п  одномерных φ-инвариантных подпространств.

  Рассмотрим вопрос, как находить одномерные φ-инвари-

антные подпространства. Пусть V – одномерное подпро­стра-

нство, V = <s >, s ≠ 0 ⇒ V= {α s| α ∈ P }. Очевидно, V –

φ-инвариантное подпространство ⇔ φ V⊂ V ⇔ φ s∈ V⇔

∃λ∈ P  такой, что φ s =λ s.

  Определение. Пусть L – линейное пространство над полем Р,  φ : L→ L – линейный оператор. Вектор s∈ L называется собственным вектором л. о. φ , если s ≠ 0 и ∃λ∈ Р такое, что φ s = λs.  λ называется собственным значением (собственным числом) оператора φ .

  По определению 0L не является собственным вектором, хотя φ 0L = 0L = λ0L  ∀λ∈Р.

  Пример. Для L = С∞(-∞, +∞) - линейного пространства беско­нечно дифференцируемых функций на числовой прямой,  и л. о. φ = d/dx : С∞(-∞, +∞)  → С∞(-∞, +∞)  вектор еkx является собственным вектором с собственным значением k. 

  Очевидно, что нахождение собственных векторов и нахо­ждение одномерных φ-инвариантных подпространств – эк­вивалентные задачи.

  Рассмотрим, как находить собственные векторы. Пусть

φ : Ln → Ln - линейный оператор,  е = {е1,…, еn } - базис в  Ln. 

Тогда  х – собственный вектор для φ  ⇔ ∃λ ∈ Р такое, что  φ х=λ х, и х≠ 0 ⇔ (λ⋅id - φ) х= 0,  и  х≠  0 ⇔  х ∈ Ker(λ⋅id - φ),  и  х ≠  0.  Таким  образом,  все  ненулевые  векторы  из

Ker(λ⋅id - φ) явля­ются собственными векторами оператора φ, соответствую­щими собственному значению λ. Но в силу теоремы 6 из п.15  Ker(λ⋅id - φ) ≠  {0} ⇔  det(λ⋅id - φ ) = 0 ⇔

det [λ⋅id - φ] =  det(λE - []) = 0.

  Рассмотрим χφ(t)= det[t⋅id -φ]= det(tE - []) - многочлен от  t  степени  n  c коэффициентами в Р. Очевидно, 

(λ⋅id - φ)х = 0 ⇔ (λE – [φ])⋅[x] = [0],  причем ненулевые реше­ния этой однородной системы линейных уравнений сущест­вуют ⇔ λ - корень многочлена χφ(t).

  Заметим, что в силу леммы из п.14.2.  det(t⋅id - φ) не зависит  от базиса  e.

  Определение. Многочлен χ (t)= χφ(t)  называется харак­теристическим  многочленом  оператора  φ  или матрицы [φ],  а  уравнение χ(t) = 0  называется  характеристическим уравнением.

  Таким образом, для нахождения собственных векторов линейного оператора φ  надо:

1. Найти корни  λ1,…, λk  характеристического многочлена  χ (t) линейного оператора φ,  лежащие в Р.

2. Для каждого  λi, i = 1,…,k, решить однородную систему линейных уравнений (λiE - [φ])⋅[x] = [0]. Её фундаментальная система решений даст множество линейно независимых собственных векторов с собственным значением  λi.

  Замечание. Если Р – алгебраически замкнутое поле, то  характеристический многочлен обязательно имеет некоторый корень λ в  Р, и, следовательно, для  λ существует собственный вектор, то есть любой корень является собственным значением оператора φ . И значит, ∀φ  ∃ собственный вектор. 

  Если Р – не алгебраически замкнутое поле, то χ (t) может не иметь корней в Р, и тогда, соответственно, в L не будет собственных векторов для оператора φ .

  Теорема. Характеристические многочлены эквивалентных матриц совпадают.

  Доказательство. Пусть А~В ⇒ ∃ Т: А = Т -1ВТ ⇒

χA(t)= |tE – A| = |tE - Т-1ВТ|=|Т-1(tE – В)Т|=|Т-1|⋅|(tE – В)|⋅|Т|= = |(tE – В)|= χB(t).

  Легко видеть, что

  χA(t)= |tE – A| = =

= (t – a11)⋅(t – a22)⋅… ⋅ (t – ann)+ слагаемые степени ≤ (n-2) =

= tn - (a11+ a22+…+ ann) tn-1 + …+ (-1)ndetA. 

  Определение. Для квадратной матрицы А =(аij) порядка n следом матрицы называется tr A = а11+а22+…+ аnn.

  По теореме, если А~ В, то  trA=trВ, так как χA(t)= χВ(t), а trA – второй коэффициент характеристического многочлена. Очевидно, что и все остальные коэффициенты характеристических многочленов для эквивалентных матриц совпадают, в том числе и последние, но это мы уже знаем. Отсюда, в частности, следует, что если trA ≠  trВ, то А и В  не эквивалентны.

Лекция 28.

  16.5. Теорема Гамильтона – Кэли. Любая квадратная матрица А является корнем своего характеристического многочлена: χA(А)=0.

  Доказательство. Пусть п – порядок матрицы А, и В=(bij) – присоединенная матрица матрицы tE – A:  B = (tE – A)* (см. 9.4). Тогда  bij – алгебраические дополнения к элементам матрицы tE– A, то есть миноры (с точностью до знака)  (п-1)-го порядка матрицы tE– A. Значит, bij – многочлены от t степени

≤ п-1. Поэтому bij  имеют вид bij = b(0)ij+ b(1)ijt + …+ b(п-1)ijtп-1, где все b(k)ij ∈ Р. Определим матрицы В(k)  с элементами из Р: В(k) = ( b(k)ij), k = 0, 1,…,п - 1. Тогда В = В(0)+ tВ(1) )+…+ tп-1В(п-1). По свойству присоединенной матрицы

  В⋅(tE – A) = |tE – A|⋅Е.  (16.3)

Пусть  χA(t)= |tE – A|= с0 + с1t+…+ сп-1 tп-1+ tп. Из формулы

(16.3) получаем:

(В(0)+ tВ(1) +…+ tп-1В(п-1))(tE– A) = (с0 + с1t+…+ сп-1 tп-1+ tп)⋅Е. Сравним коэффициенты при одинаковых степенях t и запишем результат в таблицу: