Лекции по линейной алгебре (стр. 22 )

Пусть  f(х)∈ P[x], ст. f = n. Тогда  f(х+у)∈ P[x, у]. Рассмотрим F(x, y)= f(х+у) – f(х) = ап(х)у п+ ап-1(х)у п-1 +…+ а0(х). Так как F(x,0)= f(х) – f(х) = 0, то а0(х)= 0Р[x] ⇒ у | F(x, y) ⇒ F(x, y) = yF1(x, y), где F1(x, y)∈ P[x, у].

Определение. Производной многочлена f(х) называется многочлен  f′(х)= F1(x,0).

Очевидно, f′(х) = F1(x, у)|y=0 = , и для многочленов над полем R наше определение совпадает с определением из математического анализа, так как = = F1(x,0).

Свойства производной.

1. Если  f(х) = а,  а∈ P, то  f′(х) = 0.

2. Если  f(х) = х, то  f′(х) = 1.

Упражнение. Доказать очевидные свойства 1,2.

3. (f(х)+g(х))′ = f(х)′+g(х)′.

Доказательство. Пусть  h(x)= f(х)+g(х). Сложим два равенства:  f(х+у) – f(х) = yF1(x, y)  и  g(х+у) – g(х) = yG1(x, y). Получим: h(х+у) – h(х) = yH1(x, y), и  h′(х) = H1(x,0)= F1(x,0)+ +G1(x,0), то есть  (f(х)+g(х))′ = f(х)′+g(х)′.

По индукции можно доказать эту формулу для любых п слагаемых.

4. (f(х)g(х))′ = f(х)′g(х)+ f(х)g(х)′.

Доказательство. Пусть  h(x)= f(х)g(х). Перемножим два равенства:  f(х+у) = f(х) + yF1(x, y)  и  g(х+у) = g(х) + yG1(x, y).

Получим: f(х+у)g(х+у)=f(х)g(х)+yF1(x, y)g(х)+yG1(x, y)f(х)+ + y2F1(x, y)G1(x, y) ⇒  H1(x, y) = (h(x+y) – h(x))⁄ y = F1(x, y)g(х)+ +G1(x, y)f(х) + yF1(x, y)G1(x, y) ⇒ h′(x) = F1(x,0)g(х)+ G1(x,0)f(х) ⇒ (f(х)g(х))′ = f(х)′g(х)+ f(х)g(х)′.

5. ∀ k ∈ N  (f(х)k)′ =  k f(х)k-1f(х)′.

Доказательство индукцией по k.

При k = 1 утверждение очевидно.

Пусть утверждение верно для k. Докажем его для  k+1.  (f(х)k+1)′ = (f(x)f(х)k)′ =  f(x)′ f(х)k + f(x)(f(х)k)′ =  f(x)′ f(х)k +

+ f(x) k f(х)k-1f(х)′ = (k+1) f(х)k f(х)′.

  Следствия.

  1. (хk)′ = k хk-1  ∀ k ∈ N.

  2. (апх п+ ап-1х п-1+…+ а0)′= nапх п-1+(n – 1)ап-1х п-2+…+ а1.

  Замечания.

  1. Во всех наших формулах  kb = b+b+…+b – сумма из k слагаемых.

  2. Формулы для производных многочленов у нас получились такие же, как и в математическом анализе. Надо лишь только учитывать, что если charP ≠ 0, то некоторые слагаемые могут быть равны 0. Так например, если  charP = р, то (хр)′ = 0.

  10.7. Кратные корни многочлена.

  Далее в 10.7  будем считать, что charP = 0.

  Определение. Пусть f(x)= p(x)kg(x), где  p(x) - простой многочлен в P[x],  и  p(x) не делит g(x). Тогда k – называется кратностью множителя p(x) в разложении  f(x). Если k ≥ 2, то множитель  p(x)  называется кратным. Если р(х) = х – а, то есть  f(x)= (x – а)kg(x), и  (х – а)  не делит g(x), то k – называется кратностью корня  а  многочлена f(x). Если k ≥ 2, то корень а  называется кратным, а если  k = 1, то корень а называется простым.

  Теорема. Если кратность простого множителя p(x) в раз-

ложении  f(x) равна k, то кратность p(x) в разложении  f′(x) равна k – 1.

  Доказательство. Так как f′(x)=kp(x)k-1p(x)′g(x)+p(x)kg(x)′= = p(x)k-1(kp(x)′g(x)+p(x)g(x)′), то  p(x)k-1| f′(x). Покажем, что  p(x) не делит  (kp(x)′g(x)+p(x)g(x)′). В самом деле, если мы предположим, что  p(x)| (kp(x)′g(x)+p(x)g(x)′), то получим, что p(x)| (kp(x)′g(x)). Но  p(x)  и  g(x) – взаимно простые ⇒ p(x)| p(x)′ - противоречие, так как  ст. p(x)′ = ст. p(x) – 1.

  Теорема. У  f(x)  существуют кратные простые множители тогда и только тогда, когда  f  и  f′  не взаимно простые.

  Доказательство. Пусть f(x)= р1р2…рs- разложение f на простые множители. Тогда  f′(x)= р1р2… рsh(x), и h(x) не делится на рi ∀i. Следовательно, D= р1р2…рs является наибольшим общим делителем для  f  и  f′. Таким образом,  f  и  f′  не взаимно простые, то есть  D ≠ 1 ⇔ ∃ ki> 1.

  Если необходимо решить уравнение f(x)= 0,  и многочлен  f(x) содержит кратные множители, то мы можем перейти к эквивалентному уравнению меньшей степени следующим образом. С помощью алгоритма Евклида найдем  D – наибольший общий делитель для  f  и  f′. Затем разделим  f  на  D:

f ⁄ D = р1р2…рs. Очевидно, уравнение f ⁄ D = 0 эквивалентно первоначальному уравнению, то есть имеет те же корни.  Операция перехода к уравнению  f ⁄ D = 0 называется освобождением от кратных множителей или освобождением от кратных корней.

10.8. Основная теорема алгебры.

Определение. Поле K называется алгебраически замкнутым, если ∀ f(x) ∈ K[x], ст. f > 0, ∃ α ∈ K такой, что  f(α )= 0.

Основная теорема алгебры. Поле комплексных чисел С алгебраически замкнуто.

Доказательство см., например, в §23 Курса высшей алгебры  .

Следствие. Если  f(x)∈ C[x], ст. f(x)= п > 0, то ∃ с1∈ С такой, что  f(с1)= 0, и по теореме Безу  f(х)= (х – с1)g(x). Далее если  ст. g(x)> 0, то  ∃ с2∈ С  такой, что  g(с2)= 0, и 

g(х)= (х – с2)h(x)  ⇒  f(х)= (х – с1)(х – с2)h(x) и т. д. В конце концов мы получим, что  f(х) = (х – с1)(х – с2)…(х – сп)⋅а, где а= ап - коэффициент при старшей степени х  многочлена  f. Следовательно, любой многочлен в C[x] степени п  имеет  п  корней (с учетом кратностей) и раскладывается в произведение  п  множителей 1-й степени.

10.9. Формулы Виета. Пусть f(x) = х п + ап-1х п-1+…+ а0 – многочлен из P[x], ст. f(x) = n, и  с1, с2,…,сп – корни многочлена  f(x) (такая ситуация будет иметь место всегда, если поле Р алгебраически замкнуто). Тогда 

f(x) = (х – с1)(х – с2)…(х – сп). Раскрывая скобки в правой части и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х слева и справа, получим, что  ап-1 = – с1 – с2 –…– сп = - σ1,

ап-2 == σ2, ап-3= -= -σ3,…,  а0 = (-1)пс1с2…сп = =(-1)пσп, где σ1= с1+ с2+…+ сп, σ2= , σ3 =,…, σп = с1с2…сп - так называемые элементарные симметрические многочлены от с1, с2,…, сп. Полученные формулы называются формулами Виета.

10.10. Разложение многочлена на простые множители

в С[x] и в R[x].

1. Пусть f(x) ∈ C[x], ст. f(x)= п. Тогда по следствию к

основной теореме алгебры f(x) можно разложить в произведение  п  множителей 1-й степени, и значит, при  п>1  f(x) – не простой многочлен. Следовательно, в  С[x] простыми многочленами являются лишь многочлены 1-й степени, и наоборот, любой многочлен 1-й степени является простым.

2. Для  f(x)= апхп+ ап-1хп-1+…+ а0 ∈ С[x] пусть по определению =хп+хп-1+…+, где все - комплексные числа, сопряженные к аs. Очевидно, = f(x) ⇔ f(x)∈ R[x],

и ∀ z ∈ C  = .

Пусть f(x)∈ R[x]⊂ С[x], ст. f(x)> 0, и  f(z) = 0,  z ∈ C. Тогда == f()= = 0 ⇒ если  z – корень многочлена  f, то - также корень  f. Таким образом, множество комплексных недействительных корней многочлена разбивается на пары взаимно сопряженных. Если  z = α + iβ, =α - iβ, то  f(x)= (х – z)(x – )g(x), и (х – z)(x – )= х2 – 2αх + (α2 +β2) – простой многочлен в R[x], дискриминант которого (– 4β2) 0. Следовательно, если ст. f(x)> 2, то  f(x) – не простой многочлен, так как либо он имеет действительный корень и, соответственно, множитель 1-й степени, либо пару комплексно сопряженных недействительных корней и, соответственно, множитель 2-й степени. Значит, простые многочлены в R[x] – это либо многочлены 1-й степени, либо 2-й степени с отрицательным дискриминантом.