Лекции по линейной алгебре (стр. 32 )

  Теорема 8. Если Е – евклидово пространство и dim E= п, то Е ≈ Rn.

  Доказательство. Пусть {и1,…,иn} – ортонормированный

базис в Е,  . Тогда  (х, у)= х1у1+…+ хп уп.

Отсюда следует, что отображение  φ : Е →  Rn  такое, что

φх=(х1,…,хп), является изоморфизмом евклидовых пространств, так как из п.7.3 это изоморфизм линейных пространств,  и  (φ х,φ у) = (х, у) = х1у1+…+ хп уп.

  Следствие. Из теоремы 8 следует, что все евклидовы пространства одной размерности изоморфны. И значит, пространства изоморфны тогда и только тогда, когда у них одинаковая размерность. Таким образом, класс изоморфных друг другу евклидовых пространств полностью задается размерностью любого из этих пространств. И для любой размерности п с точностью до изоморфизма существует лишь одно пространство размерности  п. Например,  пространство

Rn. Все остальные пространства размерности  п ему изоморфны.

  Далее n-мерное евклидово пространство мы будем обозначать Еп.

Лекция 30.

  Пусть E⊇L – подпространство, L⊥={x∈Е |(x, y)=0  ∀y∈L}= = {x∈Е | x ⊥ L}.

  Упражнение. Доказать, что L⊥ - подпространство.

  Определение. Подпространство L⊥ называется ортогональным  дополнением к подпространству L.

  Теорема 9.  Еп = L ⊕ L⊥.

  Доказательство. Если  х ∈ L L⊥, то  х ⊥ х ⇒ (х, х)= 0 ⇒

х = 0  ⇒ L L⊥ = 0 ⇒ L + L⊥ =  L ⊕ L⊥.

  Докажем, что L + L⊥ = Еп. Пусть х ∈ Еп. Покажем, что

можно представить  х  в виде  х = а + b, где  а ∈ L, b∈ L⊥. Выберем в L  ортонормированный базис  {и1,…,иk}. Будем  искать  а  в виде  а = α1и1+…+αkиk, где α1,…,αk  такие, что

b = (х – а) ⊥ L, то есть  ∀ i  (x – a, иi )= 0 ⇔ (a, иi )= (x, иi ) ⇔

(α1и1+…+αkиk, иi )= (x, иi ) ⇔ (αiиi, иi )= (x, иi ) ⇔ αi = (x, иi ).

Таким образом, мы показали, что αi  ∃!, то есть  а  находится  однозначно, и значит, однозначно определяется и  b. Отсюда следует не только равенство Еп=L+L⊥, но и ещё раз мы получили, что Еп = L ⊕ L⊥.

  Теорема 10.  L1⊥ L2⊥= (L1 + L2)⊥.

  Доказательство. Если  х∈ L1⊥L2⊥, то  (х, а) = 0  ∀а∈ L1, (х, b) = 0  ∀b∈L2  ⇒ (х, a+b)= 0  ⇒ x ⊥(L1+ L2),  х∈(L1+ L2)⊥.

Если же  х∈(L1+ L2)⊥, то  (х, а+b) = 0  ∀а∈L1, ∀b∈L2  ⇒  при  b = 0  (х, а) = 0  ∀а∈L1 ⇒ х∈ L1⊥. Аналогично, при  а = 0 получаем, что х∈ L2⊥. И следовательно, х∈ L1⊥ L2⊥.

  Определение. Говорят, что подпространство L2 ортогонально подпространству  L1,  L2⊥ L1,  если ∀b∈ L2, ∀а∈ L1,  (а, b) = 0 .

  Упражнения.

1. Доказать, что  L2 ⊥ L1 ⇔  L2 ⊆  L1⊥.

2. Доказать, что  ( L1⊥)⊥ = L1.

3. Доказать, что  L1⊥ + L2⊥= (L1 L2)⊥.

  19. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

  19.1. Определение. Свойства.

  Определение.  Линейный оператор  φ : Е → Е  называется ортогональным,  если  (φ х, φ у) = (х, у)  ∀ х, у ∈ Е.

  Утверждение 1. Если  φ - ортогональный оператор, то φ -

невырожденный.

  Доказательство. Если  х∈ Ker φ,  то  (φх, φх) = (х, х) = 0 ⇒  х = 0  ⇒  Ker φ = 0.

  Утверждение 2. Если  φ - ортогональный оператор, то

φ -1 - ортогональный оператор.

  Доказательство. Пусть  φ -1х = а, φ -1у = b. Тогда (а, b) = = (φa, φb) = (x, y) ⇒  (x, y)= (а, b) = (φ -1х, φ -1у).

  Таким образом,  ортогональный  линейный оператор – это автоморфизм евклидова пространства Е  (изоморфизм Е

на себя).

  Теорема 1. Для ортогонального оператора φ : Еn → Еn  эк­вивалентны следующие 15 условий:

(φ х, φ у) = (х, у)  ∀ х, у ∈ Еn. (φ х, φ х) = (х, х)  (то есть  | φх | = | х | )  ∀ х∈ Еn. (φ еs, φ et) = (еs, et)  ∀ s, t  ∀ (для некоторого) базиса 

е = {е1,..,en}  в Еn.

(φ us,φ ut) = (us, ut) = δst  ∀ s, t  ∀ (для некоторого)

ортонормированного базиса  и = {и1,..,иn}  в Еn.

  5.  {φ u1 ,…,φ un } – ортонормированный базис.

6.  = = γs, t, где γi, j = (еi, ej) –

элементы матрицы Грама,  а (ai, j) = [].

  7.  =  δs, t, где (bi, j) = [].

  8.  [] t [] = .

  9.  [] t [] = Е.

  10.  [] t  = []-1.

  11.  [][] t = Е.

  12.  =  δs, t.

  13.  Строки матрицы  []  являются ортонормированным

базисом  в  Rn.

  14.  Столбцы матрицы [] являются ортонормированным

базисом в пространстве столбцов  Rп.

  15.  [] t – матрица ортогонального оператора.

  Доказательство. Очевидно, из 1 ⇒ 2,3,4 (как частные

случаи), 6⇔ 8, 7⇔ 9⇔ 10⇔11⇔12⇔13⇔15, 4⇔ 5⇔ 7⇔ 14.

Из 2⇒ 1, так как 2(φх,φу)=(φх+φу,φх+φу) - (φх,φx) - (φy,φy)= = |φ(х+у)|2 - | φх |2 - | φy |2 =| х+у |2 - | х |2 - | y |2 =  2(х, у).

Из 3 ⇒ 1, так как (φх, φу) = (φ(), φ()) =

== = (,)= (х, у).

Так  же проверяется, что из  4 ⇒ 1.

И наконец, 3 ⇔ 6, так как  (φеs, φet) = (,)=

= = .

  Следствие.  Если  φ  -  ортогональный оператор, то

det φ  = ±1.

  Доказательство.  [] t [] = Е ⇒ det ([] t []) =

= det [] t⋅ det[] = (det[])2 = det Е = 1.