Лекции по линейной алгебре (стр. 41 )

  Векторы базиса  и = {и1,…, иn} – это собственные векторы линейного оператора φ, и  найти все иi можно, решая однородные системы линейных уравнений  ( - λiE)= [0]  (с

неизвестной матрицей в неизвестном базисе и). Но

( - λiE)= Т t(- λi)Т = Т t(- λi)= [0] ⇔  (- λi)= [0] – это уже СЛУ с известными матрицами , .  Различным собственным значениям соответствуют  g-ортогональные друг другу собственные векторы, и, если dim Ker(- λ iE) = dim Ker(- λ i) = 1, то найденный вектор  x  необходимо лишь нормировать (по  g), то есть разделить его на длину . Если же имеются одинаковые собственные значения, то есть кратные корни λi характеристического уравнения, то dim Ker( - λ iE)> 1, и найденную фундаментальную систему решений для СЛУ

(- λi)= [0]  необходимо ортонормировать в смысле  g, например, по Граму-Шмидту.

Лекция 37.

26. ЭРМИТОВЫ ФОРМЫ

  26.1. Определение и основные свойства эрмитовых форм.

  Определение.  Функция  f(х, у)  на линейном пространстве L  над полем C  называется эрмитовой, если она обладает свойствами:

1. f(х+у, z) = f(х, z)+ f(у, z), ∀ x, y, z∈ L,

2. f(α х, у) = α f(х, y), ∀ x, y∈ L, ∀ α ∈ C,

3.  f(x, y) = ∀ x, y∈ L.

  Следствия.

1. f(х, у + z) = f(х, у)+ f(х, z), ∀ x, y, z∈ L,

2. f(х, α у) = f(х, y), ∀x, y∈ L, ∀ α ∈ C,

3. f(0L, y) = f(x, 0L ) = 0  ∀ x, y ∈ L.

4.   ∀ m, n ∈ N,

∀αs, βt ∈ C, ∀ us, vt∈ L.

  Замечания.

1. Функции, для которых выполнены условия 1, 2 из определения и 1, 2 из следствия называются полуторалинейными (они линейны по первому аргументу и полулинейны по второму). Таким образом, любая эрмитова функция - полуторалинейная.

2. Теория эрмитовых функций аналогична теории симметричных билинейных функций, поэтому многие утверждения будут лишь сформулированы, а их доказательства читателю предлагается провести в качестве упражнений.

  Примером эрмитовой функции служит скалярное произведение на унитарном пространстве.

  Пусть  f - полуторалинейная функция на n-мерном пространстве L = Ln  над полем  С,  e = {e1,…,en} – произвольный

базис в L. Если  x, y∈ L, где все 

xs, yt∈ С, то  f(x, y) = .  Из

этой формулы видно, что значение полуторалинейной функции  f(x, y)  при произвольных x, y∈ L полностью и однозначно определяется  n2  значениями  fst = f(es, et) функции f на упорядоченных парах базисных векторов  es, et.

  Матрицу []=( fst )s, t=1,…,n будем называть матрицей полуторалинейной функции  f  в базисе  e.

  Пусть . Тогда  f(x, y)== , то есть функция  f(x, y)  является многочленом, все одночлены которого – первой степени от координат вектора  х  и первой степени от координат вектора  . Такой многочлен является линейной формой по  х  и полулинейной по  у, то есть полуторалинейной формой. Полуторалинейные формы, соответствующие эрмитовым функциям, будем называть эрмитовыми формами. Необходимым и достаточным условием эрмитовости полуторалинейной  формы  f  явлется условие  fts = f(et, es)= = ∀ s, t, то есть []t= в любом (в некотором) базисе  е – это условие эрмитовости её матрицы []  в любом (в некотором) базисе  е.

  Определение.  Пусть  f -  полуторалинейная функция на линейном пространстве L  над  С. Функция  F: L → С, заданная формулой  F(x) = f(x, x) ∀ x ∈ L, называется квадратичной функцией, определяемой полуторалинейной функцией  f. Если  f – эрмитова, то и F называется эрмитовой.

  Очевидно, если  f(x, y) =, то  F(x) = -

форма  второй  степени  от действительных и мнимых частей

координат  х.

  Матрицей квадратичной формы F будем называть матрицу соответствующей полуторалинейной формы  f: [] = []. И тогда F(x) = .

  Упражнение. Проверить, что полуторалинейная форма  f однозначно восстанавливается из определенной ею квадратичной формы  F по формуле

  f(x, y)=(F(x+y) - F(x - y) + iF(x+iy) - iF(x - iy)).  (26.1) 

  Если  e′ = {e′1,…,e′n} - другой базис в L, и  Т == (tks ) - матрица перехода от базиса  e  к базису  e′,  то

. Сле-

довательно, , или , где  - матрица перехода от базиса  e  к «комплексно сопряженному» с  e′  базису  , состоящему из векторов

,  s=1,…,n. Аналогично, .

  Следствия.

  1. det = det ⋅|detT|2.

  2. Если  det ∈ R,  то  sign(det )= sign(det).