Лекции по линейной алгебре (стр. 19 )

  Определение. Элементарной матрицей I-го типа называется (п, п)-матрица Рi, j(с) = Е + сEi, j, i ≠ j.

Элементарной матрицей II-го типа называется (п, п)-матрица Рi, j= E1,1+E2,2+…+ Ei-1,i-1+ Ei, j+ Ei+1,i+1+…+Ej-1,j-1+Ej, i+Ej+1,j+1+

+…+ En, n = E - Ei, i - Ej, j + Ei, j + Ej, i, при i ≠ j.

Элементарной матрицей III-го типа называется диагональная (п, п)-матрица Рi (c) = diag(1,1,…,c,…,1) =

= E1,1 + E2,2 + … + cEi, i + … + En, n = Е + (с – 1)Ei, i, где с ≠ 0.

  Упражнения.

1. Проверить, что при умножении произвольной (п, т)- матрицы А слева на элементарную (п, п)-матрицу Рi, j(с) у матрицы А к i-й строке прибавляется  j-я строка с коэффициентом с, при умножении А слева на Рi, j  у матрицы А меняются местами i-я и  j-я строки, при умножении А слева на Рi (с) у матрицы А i-я  строка умножается на с ≠ 0. Таким образом, при умножении матрицы А слева на элементарную  матрицу  s-го  типа  (s = I, II, III) над строками матрицы  А происходит элементарное преобразование того же s-го типа.

2. Проверить, что при умножении произвольной (т, п)- матрицы А справа на элементарную (п, п)-матрицу Рi, j(с) у матрицы А к j-му столбцу прибавляется i-й столбец с коэффициентом с, при умножении А справа на Рi, j  у матрицы А меняются местами i-й и  j-й столбцы, при умножении А справа на Рi (с) у матрицы А i-й  столбец умножается на с. Таким образом, при умножении матрицы А справа на элементарную  матрицу  s-го типа над столбцами  матрицы А происходит элементарное преобразование того же s-го типа.

  9.3. Определитель произведения матриц.

  Теорема. Пусть А, В∈ Мп(Р). Тогда |A⋅B| = |A|⋅ |B|.

  Доказательство. С помощью элементарных преобразований I-го и II-го типа над строками матрицы А (см. Теорему из 4.2) приведем её к ступенчатому виду: А…. Каждому ЭП над строками матрицы соответствует умножение этой матрицы на соответствующую элементарную матрицу слева. Таким образом, существуют элементарные матрицы Р1, Р2,…,Pk  такие, что Pk…Р2Р1А = . Очевидно,

|| = (-1)s|A|, где s – количество элементарных матриц  II-го типа среди Р1, Р2 ,…,Pk.  Рассмотрим два случая.

1. |A| = 0. Тогда последняя строка матрицы - нулевая, и значит, последняя строка матрицы В – также нулевая. Следовательно, 0 = |В| = |Pk…Р2Р1АB| = (-1)s|AB| ⇒ |AB| = 0 = =|A|⋅ |B|. В этом случае утверждение доказано.

2. |A| ≠ 0. В этом случае последняя строка матрицы - ненулевая, и матрица - треугольная. Далее как в 4.4, начиная с последней строки, с помощью только ЭП-I над строками можно сделать над каждым диагональным элементом нули, то есть получить диагональную матрицу D = diag(d1,…,dn):

…D. Значит, существуют элементарные матрицы I-го типа Q1, Q2,…,Qt  такие,  что Qt…Q2Q1 = D,

Qt…Q2Q1Pk…Р2Р1А= D, и |A|= (-1)s||= (-1)s|D|=(-1)sd1,…,dn. Но при умножении матрицы В на D слева 1-я строка матрицы В умножается на  d1, 2-я строка матрицы В умножается на  d2 и т. д., то есть |DB| =d1,…,dn|B| =|D||B|.  Следовательно, 

|AB|=(-1)s|Qt…Q2Q1Pk…Р2Р1АB|=(-1)s|DB|=(-1)s|D||B| =|A||B|.

Таким образом, в случае 2 утверждение также доказано.

Лекция 19.

  9.4. Обратная матрица.

  Утверждение. Пусть А - (т, п)-матрица, В - (п, k)-матрица. Тогда (АВ) t = В tА t.

  Доказательство. Заметим, что произведение ВtАt определено, так как В t - (k, п)-матрица, а А t - (п, т)-матрица. Кроме того  (АВ) t и В tА t – матрицы одного типа.

Очевидно, (i, j)-й элемент матрицы (АВ)t равен ((АВ)t)i, j= =(АВ)j, i = Аj⋅Вi = (j-я строка матрицы А)⋅(i-й столбец матрицы В) = (В t)i⋅(А t)j = (i-я строка матрицы В t)⋅(j-й столбец матрицы А t) = (В tА t)i, j.

  В 8.4 мы доказали, что если левая и правая обратные матрицы для (п, п)-матрицы А существуют, то они совпадают.

  Теорема. А-1  ∃  ⇔ |A| ≠ 0.

  Доказательство. ⇒. Пусть  А-1= В ∃. Тогда АВ = Е ⇒ |АВ| =|А||В| = |E| = 1 ⇒ |A| ≠ 0.

⇐ . Пусть |A| ≠ 0. Найдем правую обратную матрицу Х такую, что АХ = Е. Столбцы матрицы Х обозначим Х1, Х2,…,Хп, а столбцы матрицы Е обозначим Е1, Е2,…,Еп. Тогда из уравнения АХ = Е,  записывая матрицы X и E  через столбцы, получим уравнение А⋅( Х1, Х2,…,Хп) = (Е1, Е2,…,Еп), или

(А⋅Х1, А⋅Х2,…, А⋅Хп) = (Е1, Е2,…,Еп) ⇒ А⋅Х i = Е i  ∀ i. Так как  |A| ≠ 0, то по правилу Крамера решение Х i  ∀ i существует и единственно. Таким образом, доказано, что правая обратная матрица для А существует и единственна. Аналогично можно доказывать существование левой обратной матрицы. Но можно поступить иначе. Так как |A t| = |A| ≠ 0, то для At по доказанному существует правая обратная матрица Y, то есть AtY = Е ⇒ (AtY) t = Е t= Е ⇒ Y tAtt= Е ⇒ Y tA= Е ⇒ Y t – левая обратная матрица для А.

  Далее мы найдем, какой вид имеет обратная матрица.

  Рассмотрим уравнение для i-го столбца обратной матрицы  А⋅Х i = Е i из доказательства предыдущей теоремы. Так как  Е i= - здесь 1 находится на i-м месте,  Х i =, то по правилу Крамера  хki = Δk / |A|,  k = 1,…,п, где Δk - определитель, полученный из определителя |A| заменой k-го столбца на Еi. Из разложения Δk  по k-му столбцу получим, что Δk=Аik – алгебраическое дополнение к (i, k)-му элементу в |A|. Значит,  хki = Аik/|A|,  i, k = 1,…,п.  Матрица  А* = (αki), где

αki = Аik, называется присоединенной матрицей к А. Таким образом, нами доказана

  Теорема. Если |A| ≠ 0, то А-1 ∃,  и  А-1=(1/|A|)⋅А*.

  Упражнение. Проверить, что А⋅А*=А*⋅ А = |A|⋅E при любом |A|.

  9.5. Решение матричных уравнений.

  Рассмотрим матричное уравнение АХ = В, где А – (п, п)-матрица с |A| ≠ 0, В - (п, т)-матрица, а  Х – неизвестная (п, т)-матрица. Покажем, что существует единственное решение этого уравнения.

  1. Пусть решение Х0  ∃, то есть АХ0= В. Тогда А-1АХ0=А-1В  ⇒ Х0 = А-1В  - это означает единственность решения.

  2. Подставим Х0 = А-1В  в наше уравнение. Получим

А(А-1В) = АА-1В = ЕВ = В, то есть Х0 = А-1В  является решением уравнения. Это означает существование решения.

  Покажем, как на практике можно решать матричные уравнения. Как мы видели в 9.3 при |A| ≠ 0 существуют элементарные матрицы Р1, Р2,…,Рr  такие,  что Pr…P2P1A = D = =diag(d1,…,dn). Умножая это равенство слева на элементарные матрицы III-го типа P1(d1 -1), P2(d2 -1),…,Pп(dп -1), получим

P1(d1 -1)P2(d2 -1)…Pп(dп -1)Pr…P2P1A = Е. Таким образом, мы видим, что существуют элементарные матрицы Р1, Р2,…,Рq  такие,  что Pq…P2P1A = E. Следовательно, Pq…P2P1 = А-1. Отсюда можно получить два вывода.

1. А-1= Pq…P2P1E, то есть для нахождения обратной матрицы надо над строками матрицы Е проделать те же ЭП, что проделывались над строками матрицы А при приведении её к единичной матрице Е. На практике это делают так: записывают матрицу вида (А|Е), и над «длинными» строками этой матрицы делают ЭП так, чтобы слева получилась матрица Е. Тогда справа получится матрица А-1.

2. Для матричного уравнения АХ =В  решение Х0 = А-1В =  =Pq…P2P1В. Значит, для нахождения Х0 надо над строками матрицы В проделать те же ЭП, что проделывались над строками матрицы А при приведении её к единичной матрице Е. То есть над «длинными» строками матрицы (А|В) надо делать ЭП так, чтобы слева получилась матрица Е. Тогда справа получится матрица  А-1В.

  Теперь рассмотрим матричное уравнение  YA = В, где  А –

(п, п)-матрица с |A| ≠ 0, В - (т, n)-матрица, а  Y – неизвестная (т, n)-матрица. Как и ранее, можно показать, что существует единственное решение Y= BA-1 этого уравнения. На практике решать такие матричные уравнения можно двумя способами. 1-й способ – это транспонировать наше уравнение:

(YA)t = AtY t = В t, найти, как и ранее, с помощью ЭП над «длинными»  строками решение X матричного уравнения  AtХ = В t, и затем получить Y = Х t.

2-й способ заключается в следующем. Матрицу А с |A|≠ 0 можно привести к единичной не только элементарными преобразованиями над строками, но также и аналогичным образом элементарными преобразованиями над столбцами. То есть существуют элементарные матрицы Р1, Р2,…,Рt  такие,  что  AP1P2…Pt = E. Следовательно,  P1P2…Pt = А-1, и

А-1= EP1P2…Pt, то есть для нахождения обратной матрицы надо над столбцами матрицы Е проделать те же ЭП, что проделывались над столбцами матрицы А при приведении её к единичной матрице Е. На практике это делают так: записывают матрицу вида , и над «высокими» столбцами этой матрицы делают ЭП так, чтобы сверху получилась матрица Е. Тогда снизу получится матрица А-1.