Лекции по линейной алгебре (стр. 30 )

При t0:	-В(0)А	= с0Е	ЧА0 =Е
При t1:	-В(1)А+ В(0)	= с1Е	ЧА
При t2:	-В(2)А+ В(1)	= с2Е	ЧА2
. . . . . . .	. . . . . . . . . .	. . . . . .	. . . . .
При tп-1:	-В(п-1)А+ В(п-2)	= сп-1Е	ЧАп-1
При tп:	В(п-1)	= спЕ	ЧАп

Затем домножим все наши равенства на степени матрицы А, стоящие справа, и сложим их. Получим:

0 = с0Е+ с1А+…+ сп-1 Ап-1+ Ап =χA(А)⋅

  Следствие. [χφ(φ )] = χ[φ]([φ])= 0 ⇒ χφ(φ )= 0.

  16.6. Минимальный многочлен линейного оператора и матрицы.

  Пусть L – линейное пространство над полем Р,  φ : L→ L – линейный оператор.

  Определения.

1. Будем говорить, что многочлен  f ∈ P[t] аннулирует оператор  φ, если  f(φ) = 0.

2. Будем говорить, что многочлен  f ∈ P[t] аннулирует квадратную матрицу А, если  f(А) = 0.

3. Аннулятором л. о.  φ  называется множество многочленов  Ann φ = {f ∈ P[t] |  f(φ) = 0 }. Аналогично, аннулятором  квадратной матрицы А называется множество многочленов  Ann А = {f ∈ P[t] |  f(А) = 0 }.

  Из Теоремы Гамильтона – Кэли следует, что  Ann φ ≠ 0, Ann А ≠ 0.

  Так как  [f(φ)] = f([φ]), то  Ann φ = Ann [φ].

  Определение. Минимальным многочленом линейного оператора  φ  называется ненулевой многочлен fφ наименьшей степени из  Ann φ  со старшим коэффициентом, равным единице. Аналогично определяется минимальный многочлен

fA  матрицы A.

  Утверждение. Для л. о. φ (соответственно, для матрицы А) минимальный многочлен определен однозначно.

  Доказательство. Пусть f1φ , f2φ  - два минимальных многочлена для φ. Тогда ст. f1φ = ст. f2φ ⇒ ст.( f1φ  -  f2φ ) ст. f1φ , и  f1φ  -  f2φ ∈ Ann φ  ⇒  f1φ  -  f2φ = 0 ⇒  f1φ  =  f2φ  .

  Утверждение.  Если  f ∈ Ann φ, то  fφ | f.

  Доказательство.  Разделим  f  на  fφ  с остатком:

f = q fφ +r,  ст. r ст. fφ ⇒  r(φ) = f(φ) - q(φ) fφ(φ)= 0 ⇒ r= 0.

  16.7. Инвариантные подпространства линейных операторов,  действующих в векторных пространствах над R и над С.

  Теорема. Пусть Ln – линейное пространство над полем С, п >1, φ : Ln → Ln - линейный оператор. Тогда в Ln существует одномерное  φ-инвариантное подпространство.

  Доказательство следует из замечания в п.16.4 и из того, что поле  С  алгебраически замкнуто.

  Теорема. Пусть Ln – линейное пространство над полем R, п >1, φ : Ln → Ln - линейный оператор. Тогда в Ln существует  φ-инвариантное подпространство размерности ≤ 2.

  Доказательство. Пусть χφ(t)=р1(t)⋅р2(t)⋅…⋅рm(t) - разложение характеристического многочлена на неприводимые множители над полем R. Тогда все множители рi(t) имеют степень 1 или 2. По теореме Гамильтона – Кэли  χφ(φ )=0 ⇒ р1(φ )⋅р2(φ )⋅…⋅рm(φ ) = 0 ⇒  det(р1(φ )⋅р2(φ )⋅…⋅рm(φ )) = 0 ⇒

det р1(φ )⋅det р2(φ )⋅…⋅det рm(φ )= 0 ⇒  ∃ i:  det рi(φ )= 0.

а) Пусть ст. рi(t) = 1. Можно считать, что рi(t) = t - λ0  ⇒

рi(φ )= φ - λ0 id,  det (φ - λ0 id) = 0 ⇒ Ker (φ - λ0 id) ≠  0  ⇒

Ker (φ - λ0 id)? s ≠ 0, s – собственный вектор, <s > - одномерное φ-инвариантное подпространство.

б) Пусть ст. рi(t) = 2. Можно считать, что рi(t) = t 2 + аt + b,

рi(φ)=φ 2 +аφ + b⋅ id. Так как  det рi(φ )= 0, то Ker рi(φ ) ≠ 0

⇒  Ker рi(φ ) ?  и ≠  0 ⇒ (φ 2 + аφ + b⋅ id)и = 0  ⇒

φ 2и = - аφ и - bu. Пусть v = φ и, V = < и, v >. Тогда V - φ- инвариантное подпространство, так как φ и = v ∈ V,

φ v = φ 2и = - аφ и – bu = - а v - bu ∈ V  (см. также вывод 2 из п.16.1), и  dimV ≤ 2.

  Упражнение. Доказать, что в случае б)  dimV = 2.

17.  ДИАГОНАЛИЗИРУЕМЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ

ОПЕРАТОРЫ

Определение. Линейный оператор φ : Ln → Ln называется

диагонализируемым, если  существует базис е в  Ln такой, что [] - диагональная матрица,  [] = diag(λ1,…,λп).

  Теорема 1 (необходимое и достаточное условие диагонализируемости).  Линейный оператор φ : Ln → Ln имеет в некотором базисе е диагональную матрицу []= diag(λ1,…,λп) ⇔ базис е состоит из собственных векторов л. о. φ , а λ1,…,λп – собственные значения оператора φ .

  Доказательство.

⇒. Пусть в базисе е = {е1,…, еn } матрица [] = diag(λ1,…,λп). Тогда ∀i=1,…,п  φ еi= λi⋅ еi ⇒ базис е состоит из собственных векторов л. о. φ , с собственными значениями λ1,…,λп.

⇐. Если базис  е = {е1,…, еn } состоит из собственных векторов л. о. φ , с собственными значениями λ1,…,λп, то ∀i=1,…,п  φ еi= λi⋅ еi ⇒  [] = diag(λ1,…,λп).

  Рассмотрим, при каких условиях в Ln существует базис из собственных векторов л. о. φ.

  Лемма. Собственные векторы  л. о. φ, соответствующие различным собственным значениям, линейно независимы.

  Доказательство. Пусть s1,…, sk – собственные векторы л. о. φ  с различными собственными значениями λ1,…,λk. Проведем доказательство индукцией по k.

  При  k = 1 вектор s1  линейно независим, так как  s1 ≠  0.

  Пусть для  k - 1 утверждение верно, то есть s1,…, sk-1  линейно независимы. Покажем, что тогда s1,…, sk-1, sk  линейно независимы. Предположим, что

  α1s1+…+α k-1sk-1+α k sk = 0.  (17.1)

Применим к левой и правой частям этого равенства л. о. φ . Получим :

  α1λ1s1+…+α k-1λ k-1sk-1+α kλksk = 0.  (17.2)

Теперь умножим равенство (17.1) на λk и вычтем его из (17.2). Получим α1(λ1 -λk)s1+…+α k-1(λ k-1 -λk)sk-1= 0. Но s1,…, sk-1  линейно независимы ⇒ α1(λ1 -λk)=…=α k-1(λ k-1 -λk)= 0 ⇒ α1=…=α k-1=0, так как λ1 -λk ≠ 0,…, λ k-1 -λk ≠ 0. Теперь из (17.1) получаем, что α k sk = 0 ⇒ α k= 0  (так как  sk ≠ 0) ⇒ s1,…,sk - линейно независимы.

  Пример. В линейном пространстве L = С∞(-∞, +∞)  бесконечно дифференцируемых функций на числовой прямой для л. о.  φ = d/dx: С∞(-∞, +∞) → С∞ (-∞, +∞)  (см. пример из п.16.4) векторы еаx являются собственными векторами, и поэтому любая система векторов { еаx, еbx,…,есx} с различными а, b,…,с – линейно независима.

  Теорема 2 (достаточное условие диагонализируемости).

  Если характеристический многочлен χφ(t) линейного оператора φ : Ln → Ln имеет п различных корней в поле Р, то в Ln существует базис из собственных векторов (в котором матрица [φ ] – диагональна).

  Доказательство. Действительно, в этом случае по лемме в  Ln существуют  п  линейно независимых собственных векторов л. о. φ, которые образуют базис из собственных векторов (в котором по теореме 1 матрица [φ ] – диагональна).

  Замечание. Условие в теореме 2 достаточное, но не необходимое:  л. о. id :  Ln → Ln имеет единственное собственное значение λ1 =1, но любой базис пространства Ln состоит из собственных векторов л. о. id.

  Рассмотрим, почему л. о. φ : Ln → Ln может не быть диагонализируемым. Во-первых, это может быть из-за того, что поле  Р не алгебраически замкнуто, и характеристический многочлен χφ(t) имеет в Р меньше, чем п корней. Например, для поворота плоскости  на  угол  π/2  характеристический

многочлен t2+1 не имеет действительных корней, и, очевидно, собственных векторов для этого поворота также нет. Во-вторых, для некоторого собственного значения λ0 ∈ Р кратности k >1 число соответствующих линейно независимых собственных векторов может быть меньше, чем  k (см. теорему 3). Например, для л. о. φ  с матрицей [φ ]= в базисе е = {е1, е2 }, очевидно, λ1,2 =1- собственное значение кратности 2, но существует лишь один соответствующий линейно независимый собственный вектор  –  это е1.

  Теорема 3. Пусть Ln – линейное пространство над полем Р, φ : Ln → Ln - линейный оператор, λ0 – корень характеристического многочлена χφ(t) кратности k ≥ 1. Тогда число линейно независимых собственных векторов оператора φ с собственным значением λ0  не превосходит k.