Лекции по линейной алгебре (стр. 45 )

3. Очевидно, = = = , то есть в  G / H 

для элемента    ∃  обратный элемент  -1 = .

  Таким  образом,  на фактормножестве  G / H  мы задали

структуру группы, которая называется факторгруппой.

  Упражнения.

1. Доказать, что если группа  G  коммутативна, то и факторгруппа  G / H  коммутативна.

2. Доказать, что  G /{ε} ≈ G,  G / G ≈ {ε}.

  Рассмотрим поэлементное произведение смежных классов:  g1H⋅g2H = { g1hg2h′ | h, h′ ∈ H}. Очевидно,  g1H⋅g2H =

= g1(g2g2-1)Hg2H = g1g2(g2-1Hg2)H = g1g2HН = g1g2H  (легко видеть, что  НН = Н, так как  НН ⊆ Н, и  уже  Нε = Н). Кроме того, (gH) -1= {(gh) -1| h ∈ H} = Н -1g -1= Нg -1= (g -1g)Hg -1= 

= g -1(gHg -1) = g -1H  (очевидно,  Н -1 = Н,  = εН = Н). 

  Таким образом, операцию умножения смежных классов на фактормножестве  G / H  можно определять как операцию поэлементного умножения классов: g1H⋅g2H = g1g2H. При таком определении мы тоже получили бы на  G / H  структу-

ру группы.

  28.3. Морфизмы групп.

  Пусть  G1 – группа с бинарной операцией *, G2 – группа с бинарной операцией ⋅ .

  Определения.

1. Отображение  φ :  G1 →  G2  называется морфизмом  (или гомоморфизмом) групп, если  ∀ a, b ∈ G1  φ(a*b) = φa ⋅φb.

2. Если  φ  - морфизм и биекция, то φ  называется изоморфизмом.

3. Если  φ  - морфизм и инъекция, то φ  называется мономорфизмом.

4. Если  φ  - морфизм и сюръекция, то φ  называется эпиморфизмом.

5. Если морфизм φ : G1 →  G1, то φ  называется эндоморфизмом.

6. Если φ : G1 →  G1 - изоморфизм, то φ  называется автоморфизмом.

  Упражнения.

1. Пусть  φ :  G1 →  G2 ,  ψ :  G2 →  G3 - морфизмы  групп.

Доказать, что  ψ φ :  G1 →  G3 - морфизм групп.

2. Пусть  AutG  – множество автоморфизмов группы G. Дока-

зать, что  AutG – группа.

  Пусть  φ :  G1 →  G2 - морфизм групп, ε1 – нейтрал в G1, ε2 – нейтрал в G2 .

  Утверждение 1. φε1 = ε2 ,  φ(g -1) = φ(g) -1  ∀g ∈ G1.

  Доказательство. Пусть φε1 = с. Тогда φ(ε1ε1) = φε1φε1 = =φε1 ⇒ сс = с ⇒  с -1сс = с -1с ⇒  ε2с = ε2  ⇒  с = ε2 . Далее φ(gg -1) =φ(g)φ(g -1) = φε1 = ε2 ⇒ φ(g -1) = φ(g) -1.

  Определение. Ядром морфизма  φ :  G1 →  G2  называется  Kerφ = φ -1ε2 = {g ∈ G1| φg = ε2}.

  Утверждение 2. Kerφ - нормальная подгруппа в  G1.

  Доказательство. Пусть a, b∈ Kerφ. Тогда φa = φb = ε2 ⇒

φ(ab) = φaφb = ε2ε2= ε2  ⇒ ab∈ Kerφ. Также  φ(а -1)= φ(а) -1 =

= ε2-1 = ε2 ⇒ a -1∈ Kerφ. И наконец, φε1 = ε2 ⇒  ε1∈ Kerφ.

  Следовательно, Kerφ - подгруппа в  G1.

  Пусть теперь g∈G1, a∈Kerφ. Тогда φ(g -1аg)= φ(g)-1φаφg= = φ(g)-1ε2φg = ε2  ⇒  g -1аg ∈ Kerφ.

  Следовательно, Kerφ - нормальная подгруппа в  G1.

  Утверждение 3.  φ - инъекция  ⇔  Kerφ = {ε1}.

  Доказательство. ⇒. Пусть φ - инъекция, и  а ∈ Kerφ  ⇒

φа = φε1= ε2 ⇒  а = ε1 ⇒  Kerφ = {ε1}.

⇐ . Пусть  Kerφ = {ε1}, и  φа = φb. Тогда  φ(аb-1) =φа⋅(φb)-1= = ε2 ⇒  аb-1∈ Kerφ  ⇒  аb-1= ε1 ⇒ a = b ⇒ φ - инъекция. 

Лекция 40.

28.4. Теорема о разложении морфизма.

  Пусть  Н - нормальная подгруппа в группе  G,  G / Н –

факторгруппа. Рассмотрим отображение  α : G → G / Н  та-

кое, что  ∀g∈ G  α(g) = .

  Утверждение. α  - эпиморфизм групп, причем Ker α = H.

  Доказательство. Так как  ∀ a, b∈ G  α(ab) = = =

= α(a)α(b), то α  - морфизм групп.  И конечно же,  α - сюръекция, то есть  α - эпиморфизм. Этот эпиморфизм  α  называется каноническим и обозначается  сап. Очевидно,  g ∈ Ker α  ⇔ = ⇔ g~ ε ⇔ g∈Н. Следовательно, Kerα = Ker сап =H.

  Следствие. Мы видели, что ядро любого морфизма – нормальная подгруппа. Теперь мы увидели, что любая нормальная подгруппа является ядром некоторого морфизма, например, канонического. Таким образом, нормальные подгруппы – это в точности те подгруппы, которые являются ядрами некоторых морфизмов.

  Пусть теперь  φ :  G1 →  G2 - морфизм групп,  Н = Kerφ,  G1/ Н – факторгруппа, сап: G1 →  G1 / Н – канонический эпиморфизм.

  Определим  отображение  : G1 / Н →  G2  следующим

образом: пусть по определению  () = φg  ∀ ∈ G1 / Н. Наше определение корректно, так как  = gH, и  φ(gH)= =φgφ(H) = φg⋅ε2 = φg.  Кроме того,  ∀ , ∈  G1 / Н 

() = () = φ(ab) =φaφb = ()(), то есть  - морфизм групп. Если  ∈ Ker , то  () = φg = ε2  ⇒

g ∈ Ker φ  = H ⇒ = ⇒  Ker = {} ⇒ - инъекция (см. п.28.3, утверждение 3). Следовательно, - мономорфизм групп. И наконец, если мы будем рассматривать не как отображение  G1/ Н  в  G2, а как отображение  G1/ Н  в  Imφ = φ(G1), то  будет ещё и сюръекцией, то есть и биекцией. Таким образом,  : G1 / Н →  Imφ - изоморфизм групп. Так как  Imφ ⊆ G2, то обозначим через  i  тождественное вложение  i : Imφ  →  G2, i(g) = g  ∀g ∈ Imφ . Очевидно, i – морфизм  и  инъекция, то  есть  мономорфизм.  Кроме  того,