Лекции по линейной алгебре (стр. 9 )

  Таким образом, нами доказана

  Теорема о полном разложении определителя.

|A| =, где σ =,  ε(σ) = + 1, если σ - четна, и ε(σ) = - 1,  если σ - нечетна.

  Замечания.

  1. Как мы видим, определитель матрицы равен сумме всевозможных произведений элементов матрицы, выбранных по одному из всех (различных) строк и всех (различных) столбцов, взятых со знаком + или – .

  2. Очевидно, |A| =.

  5.9. Решение СЛУ по Крамеру.

  Рассмотрим систему п линейных уравнений с п неизвестными:

    (5.1) 

  Домножим левые и правые части уравнений на алгебраические дополнения Аik основной матрицы А системы (5.1):

1-е уравнение домножим на А1k, второе – на А2k, и т. д., п-е – на Апk. Затем домноженные уравнения сложим. У полученного уравнения коэффициент при хk  будет равен  = |A|. А коэффициент при хs, s ≠ k, равен - это определитель, у которого k-й столбец в матрице А заменен на s-й столбец, то есть это определитель с двумя одинаковыми столбцами – k-м и s-м, и, значит, этот определитель равен нулю. Таким образом, коэффициенты при всех  хs, s ≠ k, равны нулю. А правая часть полученного уравнения имеет вид - это определитель матрицы, которая получается из матрицы А заменой k-го столбца на столбец из правых частей системы  (5.1).  Этот  определитель  мы  будем  обозначать  Δk =. Следовательно, после сложения домноженных уравнений мы получим уравнение вида |A|⋅ хk= Δk. Это уравнение – следствие системы (5.1).

  Если  |A|= 0 и ∃ Δk ≠ 0, то уравнение |A|⋅ хk= Δk не имеет решений, и, следовательно, система (5.1) несовместна.

  Если  |A| ≠ 0, то из решения по Гауссу система (5.1) -  совместная и определенная, и её решения являются решениями уравнений |A|⋅ хk= Δk, которые имеют единственное решение хk = Δk / |A|. Следовательно, набор  хk = Δk / |A|,  k = 1,…,п,  является единственным решением системы (5.1). Это решение и называется решением по Крамеру.

  Если  |A|= 0 и все Δk= 0, то по Крамеру систему решать нельзя. Можно решать её, например, по Гауссу. В этом случае система (5.1) либо имеет больше одного решения, либо несовместна.

  Упражнение. Привести примеры систем с |A|= 0, которые имеют более одного решения, и систем, которые несовместны.

Лекция 10.

  5.10. Теорема Лапласа.

  Для любых s1 s2 … sm и  t1 t2 … tm  будем обозначать через минор (определитель) матрицы А, стоящий на пересечении столбцов  с  номерами  s1, s2 ,…, sm  и строк с номерами  t1, t2 ,…, tm.

  Пусть k1 k2 …  kp  - номера фиксированных столбцов (п×п)-матрицы А, kp+1 kp+2 … kn – номера дополнительных (фиксированных) столбцов матрицы А.

  Теорема Лапласа.

  |A| = ,  (5.2)

где i1 i2 … ip – (переменные) номера всевозможных строк, по которым ведет­ся суммирование, ip+1 ip+2 … in - номера дополнительных строк.

  Доказательство. Очевидно, сумма в теореме Лапласа состоит из слагаемых. По теореме о полном разложении определителя минор содержит р! слагаемых, а минор содержит (п – р)! слагаемых. Если все эти слагаемые перемножить в каждом из произведений миноров, то получим всего ⋅р!⋅(п – р)! = п!  слагаемых – ровно столько же, сколько содержится в теореме о полном разложении определителя |A|. Кроме того, после перемножения все полученные слагаемые – это одночлены, множителями которых являются элементы матрицы А, выбранные по одному из каждого столбца с номерами  k1, k2 ,…, kp и с номерами kp+1, kp+2,…, kn, то есть элементы матрицы А, выбранные по одному из всех столбцов, и аналогично по одному из всех строк. Это значит, что 1) среди этих одночленов нет подобных членов, и 2) эти одночлены в точности такие же, как одночлены, которые получаются при разложении  |A| по теореме о полном разложении определителя. Последнее, что осталось проверить – это то, что все эти одночлены в правой части равенства (5.2) имеют такие же знаки, как и одночлены в разложении определителя |A|, или, как мы будем говорить – правильные знаки.

  Лемма. Пусть  k1=1,  k2 =2,…, kp= р, и, следовательно,

kp+1= р+1, kp+2=р+2,…,kn=п. Запишем правую часть равенства (5.2) в виде  + все остальные слагаемые. Докажем, что все одночлены из имеют правильные знаки.

  Доказательство леммы. Произвольный одночлен из имеет вид

, где

σ1=, ε(σ1)= (- 1)r, σ2=,  ε(σ2) = (- 1)s, r – число инверсий подстановки σ1 , s - число инверсий подстановки σ2. Таким образом, в правой части формулы (5.2) одночлен имеет знак (- 1)r+s. А в левой части формулы (5.2) в разложении |A| одночлен имеет знак

ε(σ)= (- 1)t, где

σ =, а t - число инверсий подстановки σ. Но, очевидно, t = r + s, так как у подстановки σ  инверсии образуют лишь элементы j1, j2,…, jp между собой и элементы jр+1, jр+2,…, jп  между собой, а между элементами из подмножеств  j1, j2,…, jp  и  jр+1, jр+2,…, jп инверсий нет, так все элементы второго подмножества больше элементов первого подмножества и расположены правее. 

  Таким образом, в правой части формулы (5.2) все одночлены из имеют правильные знаки.

  Лемма доказана.

  Продолжим доказательство теоремы. Докажем теперь, что все одночлены в (5.2) из слагаемого

имеют правильные знаки. В матрице A переставим k1-й столбец на 1-е место, меняя местами его каждый раз с соседними предыдущими столбцами, за (k1–1) шагов; затем k2-й столбец на 2-е место за  (k2–2) шагов и т. д.; и наконец,  kр-й столбец на  р-е место  за (kр–р)  шагов. После этого столбцы с номерами kp+1, kp+2,…,kn  займут в матрице места с номерами р +1, р +2,…,п. Теперь такую же процедуру проделаем со строками матрицы А: строки с номерами i1, i2,…, ip переставим на 1-е места за (i1 – 1)+(i2 - 2)+ +…+( ip – р) шагов. После этого строки с номерами iр+1, iр+2,…,iп займут места с номерами р+1, р +2,…,п. Полученную матрицу обозначим А′. Её определитель

|A′| = |A|. По лемме все одночлены из для |A′|  имеют правильные знаки. Но  |A|=|A′|, = ,

= , и значит, все одночлены из

имеют правильные