Лекции по линейной алгебре (стр. 13 )

  Утверждение. Элемент ∈ Zm  обратим ⇔ НОД(a, m)= 1.

  Доказательство.

⇒. Пусть ∃ ∈ Zm такой, что =⇔ (ab)π 1⇔ ab = 1 + km

⇔ ab - km = 1, и если d|a, d|m, то  d|1.

⇐. Пусть НОД(a, m) = 1. Тогда ∀ , ∈ Zm, ≠ ,  также ≠ . В самом деле, если = , то =⇒ (ac)π(ad) ⇒ m|(ac - ad) ⇒ m|a(c - d). Но НОД(a, m) = 1⇒

m|(c - d) ⇒ cπ d ⇒ = - противоречие.  Таким образом, все

элементы из  ⋅Zm  различны  ⇒  ⋅Zm  = Zm  ⇒  ∃ ∈ Zm 

та­кой, что =.

  Следствие. Zm – поле ⇔  m – простое число.

  Доказательство. ⇐.  Если  m = p – простое число, то

∀ a ∈ {1,2, …, p - 1}  НОД(a, p)= 1 ⇒ -  обратим, Zm – поле.

⇒. Пусть Zm – поле, и  m – непростое число,  m = kl, где k > 1, l > 1. Тогда НОД(k, m) ≠ 1, и для элемента ∈ Zm, ≠ , об­ратный элемент в  Zm  не существует - противоречие. Значит, m – простое.

  6.5. Поля. 

  Примеры числовых полей хорошо известны – это

Q,+, ⋅ , -( ), 0 , 1 >, R,+, ⋅ , -( ), 0 , 1 >, C,+, ⋅ , -( ), 0 , 1 >.

Также мы доказали, что ∀  простого числа p ∈ Z  полем яв­ляется Zp,+, ⋅ , -( ), , >. 

  Определение. Если  P = P, +, ⋅, -( ), 0K, 1K > - поле,

F⊆ P  и  F  = F,+, ⋅, -( ), 0K, 1K > - поле,  то  F  называют подполем поля  P, а  P  называют надполем поля F  или расширением поля  F. Если ясно, какие операции имеются в виду, то говорят, что F – подполе поля P, а  P – расширение поля F.

  Определение. Если Р1, Р2 – поля, то отображение

φ: Р1→ Р2  называется изоморфизмом полей, если φ - биекция, и ∀ x, y∈ Р1  φ(x+y) = φ x +φ y,  φ(x⋅y) = φ x ⋅φ y. Если для полей Р1 и Р2 такой изоморфизм существует, то говорят, что поля Р1 и Р2  изоморфны и пишут  Р1 ≈ Р2.

  Упражнения.

1. Доказать, что id:  Р1→ Р1  является изоморфизмом, то есть Р1 ≈ Р1.

2. Доказать, что если φ:Р1→Р2 – изоморфизм, то φ -1:Р1→Р2 –  изоморфизм, то есть если Р1 ≈ Р2, то Р2 ≈ Р1.

3. Доказать, что если φ:Р1→ Р2 , ψ:Р2→ Р3 – изоморфизмы,

то ψ ◦φ:Р1→ Р3 – изоморфизм, то есть если Р1 ≈ Р2 и Р2 ≈ Р3 , то Р1 ≈ Р3.

4. Доказать, что если φ:Р1→ Р2 – изоморфизм, то

φ(0)=φ(0), φ(1)=φ(1),φ(-х)= - φх  ∀х∈Р1,

φ(х -1)= (φ х)-1 ∀х∈ Р1, х ≠ 0.

  Пусть  P - поле. Будем обозначать элементы вида

ab-1 = b-1a  дробями  . Тогда = ⇔ ab-1 = cd -1⇔

ad = bc, += ab-1+cd -1 =( ab-1+cd -1)⋅bd⋅( bd) -1 =

= (ad + bc)( bd) -1=,  ⋅= ab-1⋅cd -1 =ac(bd) -1= .

  Любое поле P содержит элементы 0Р, 1Р, 1Р + 1Р = 2(1Р), 1Р + 1Р +1Р =3(1Р),…, m(1Р) ∀m ∈ N. Возможны  два случая:

1) все элементы вида m(1Р), m ∈ N, различны.

2) среди этих элементов ∃ одинаковые, то есть в N ∃ m ≠ n : m(1Р)= n(1Р) (такой случай имеет место всегда для конечного поля Р). Пусть m > n. Тогда (m – n)(1Р)= 0Р, то есть существует такое t ∈ N, что t(1Р)= 0Р.

  Определение. Характеристикой поля Р называется наименьшее натуральное число t  такое, что t(1Р)= 0Р. Если такого числа не существует (как в случае 1), то говорят, что характеристика поля равна 0 или ∞ . Характеристика поля обозначается через char P.

  Очевидно, char Q = char R = char C = 0, char Zp = p.

  Теорема. Если  р = char P ≠ 0, то р – простое число.

  Доказательство. Пусть р – не простое, p = kl, где  k, l ≠ 1.

Тогда 0Р = p(1Р)= (kl)(1Р) = k(1Р)⋅ l(1Р), и  k(1Р) ≠ 0Р, l(1Р) ≠ 0Р. Но в поле нет делителей нуля (см. 6.3), то есть мы получили противоречие. Значит,  р – простое число.

  Определение. Поле Р называется простым, если у него нет подполей, отличных от Р.

  Теорема.  Поле  Q – простое. 

  Доказательство. Пусть Q ⊇ Р – подполе. Тогда Р? 0, 1, 1+1=2, 2+1=3,…, n (∀n ∈ N), - n (∀n ∈ N), ±(∀n ∈ N), ⋅m (∀n ∈ N, m ∈ Z), то есть Р ⊇ Q ⇒ Р = Q. Других подполей в Q  нет.

  Теорема.  Поле  Zp – простое. 

  Доказательство. Пусть  Zp ⊇ Р – подполе. Тогда Р? ,, +=, +=, … , , то есть Р ⊇ Zp ⇒ Р = Zp. Других подполей в  Zp  нет.

  Теорема.  Пусть Р – поле, и char P = 0. Тогда

P содержит наименьшее (по включению) подполе Р0 , подполе Р0 – простое, Р0 ≈ Q.

  Доказательство. Очевидно, пересечение всех подполей в Р является, во-первых, подполем, во-вторых, оно является наименьшим подполем (так как содержится в любом другом) и, в-третьих, оно является простым подполем, так как не содержит собственных (меньших) подполей. Отсюда следуют 1-е и 2-е утверждения теоремы.