Лекции по линейной алгебре (стр. 39 )

f(х - αе1, е1) = 0 ⇔  α = f(х, е1)/ f(е1, е1)  (так как  f(е1, е1)= =F(е1)≠ 0).

  Таким образом,  L = L1 ⊕ , dim= n – 1, и  для можно считать, что утверждение теоремы выполнено по предположению индукции, то есть в   ∃  f-ортогональный базис {е2,е3,…,еn}. Тогда, очевидно, {е1,е2,…,еn} - f-ортого - нальный базис в L.

  Итак, мы нашли базис e = {е1,…,еn} такой, что  f(еi, еj) = 0 при  i ≠ j. Пусть  f(еi, еi) = λ i. Тогда в этом базисе 

= diag(λ1,…, λn);  f(x, y) = , F(x) =, и такой вид билинейной и квадратичной форм называется каноническим. Следовательно, любая симметричная билинейная форма и любая квадратичная форма эквивалентны формам канонического вида. То есть существует линейная замена координат, которая приводит произвольную симметричную билинейную форму (квадратичную форму) к каноническому виду.

  Пусть  f(еi, еi) = λ i ≠ 0  при  i = 1,…,r  и  f(еi, еi) = 0  при

i = r+1,…,п.  Тогда  r = rg f,  и  r  от базиса  не зависит.

  Рассмотрим случай  Р = С. Возьмём  μi ∈ С  такие, что

μi2 = λ i  при  i = 1,…,r,  μi = 1  при  i = r+1,…,п. Тогда после замены координат  zi = μix  ∀i  получим F(x)= z12+…+zr2 -  такой вид квадратичной формы называется нормальным. 

  Итак, нами доказана

  Теорема. В линейном пространстве над полем С  для любой квадратичной формы F существует базис e′={e1′,…,eп′}, в котором форма имеет нормальный вид, то есть для  х= 

F(x) = z12+…+zr2. Соответствующая симметричная билинейная форма имеет нормальный вид  f = z1 w1+…+zr wr.

  Следствие. Над полем С класс эквивалетных форм определяется рангом  r. Формы с одинаковым рангом эквивалентны, формы с разными рангами не эквивалентны. Существует  r+1  классов эквивалентных форм.

  Теперь рассмотрим случай  Р = R. Будем считать, что форма  F  имеет канонический вид  F(x) = λ1х12+…+λsxs2 –

- λs+1хs+12-…- λs+t хs+t2, где все  λi > 0,  s+t = r. Пусть μI = при  i = 1,…,r,  μi = 1  при  i = r+1,…,п. Тогда после замены координат  zi= μix ∀i  получим  F(x)= z12+…+zs2– zs+12-…-zs+t2 - такой вид квадратичной формы в случае поля  R  называется нормальным. 

  Таким образом, нами доказана

  Теорема. В линейном пространстве L над полем R  для любой квадратичной формы F существует базис, в котором форма имеет нормальный вид  F(z) = z12+…+zs2– zs+12-…-zs+t2. Соответствующая симметричная билинейная форма f имеет нормальный вид  f(z, w) = z1 w1+…+zs ws – zs+1ws+1-…- zs+tws+t.

  Определения.

1. Квадратичная форма F  называется положительно определённой или положительной (F > 0), если ∀ x ≠ 0  F(x)> 0. Тогда и  f  называется положительно определенной,  f > 0.

  Очевидно, в этом случае  F  имеет нормальный вид

F(z) = z12+…+zп2, и  s = n,  t = 0.

2. Аналогично, F - отрицательно определённая или отрицательная  (F   0), если  ∀ x ≠  0  F(x) 0. Тогда  и  f 0.

  В этом случае  F  имеет нормальный вид

F(z) = - z12-…- zп2, где  s = 0, t = п.

3. Будем говорить, что  F  неотрицательно определённая

(F ≥ 0), если  ∀ x ≠  0  F(x) ≥ 0. Тогда и  f ≥ 0.

  Очевидно, в этом случае F  имеет нормальный вид

F(z) = z12+…+zs2, где  s n, t = 0.

4. Также  F - неположительно определённая  (F ≤ 0), если 

∀ x ≠ 0  F(x) ≤ 0. Тогда и  f ≤ 0, а  F  имеет нормальный вид

F(z) = - z12-…- zt2, где  s = 0, t n.

5. И наконец, F - неопределённая, если ∃ x такой, что F(x)> 0, и  ∃  у  такой, что  F(у) 0. Тогда и  f – неопределённая, а F  имеет нормальный вид  F(z) = z12+…+zs2– zs+12-…- zs+t2,  где 

s > 0, t > 0 .

  24.7. Закон инерции для квадратичных форм.

  Теорема (закон инерции). Если форма F в базисе е  имеет нормальный вид  F(z) = z12+…+zs2– zs+12-…-zs+t2, то числа  s  и  t  от базиса не зависят, то есть для любого базиса  е′,  в котором  F имеет нормальный вид, числа  s  и  t  будут теми же самыми.

  Доказательство. Докажем, что s равно максимальной размерности подпространства в  L, на котором  F > 0. Отсюда и будет следовать независимость  s  от базиса. Очевидно, если  е = {е1,е2,…,еn}, то подпространство  L1 = <е1,е2,…,еs> такое, что  > 0. Таким образом, существует подпространство размерности  s, на котором  F > 0.

  Покажем, что не существует подпространства размерности большей  s, на котором  F > 0. Предположим противное: пусть  L2 – подпространство, на котором  F > 0, и  dimL2 >  s. Рассмотрим подпространство  L3 = <еs+1,…,еn>. Очевидно, ≤ 0. По теореме 3  из п.12  dimL2L3 = dimL2 + dimL3  – – dim(L2+L3) > s + (n – s) – n = 0 ⇒  если  L2L3 ? х, х ≠ 0, то F(х)> 0  и  F(х)≤  0  - противоречие, то есть  L2 не существует, и для  s  теорема доказана.

  Далее рассмотрим форму – F. Теперь числа t  и  s меняются ролями, и  t – это максимальная размерность подпространства в  L, на котором  – F > 0. То есть t  также не зависит от базиса.

  Определение.  Число  s  называется положительным индексом инерции формы  F  и обозначается I+(F). Число  t  называется отрицательным индексом инерции формы  F  и обозначается  I -(F).

  Из доказанной теоремы следует корректность определения  индексов инерции.

  Следствие. Квадратичные формы имеют 2 числовых инварианта I+ = s,  I - = t,  которые  независимы и составляют полную систему инвариантов, так как определяют квадратичную форму с точностью до эквивалентности. Другими словами, любой класс эквивалентных квадратичных форм однозначно определяется парой чисел (s, t).

  Упражнение. Посчитать количество классов эквивалентных форм.

  24.8. Критерий Сильвестра. 

  Пусть е – произвольный базис в линейном пространстве L над R.  Для квадратичной формы  F  обозначим через  Мk  левый угловой минор порядка  k  матрицы [F]  в базисе  е :  Мk  = .

  Теорема (критерий Сильвестра  положительной определен­ности квадратичной формы).  F > 0  ⇔  все  Мk > 0. 

  Доказательство.

⇒. Пусть F > 0. Тогда в некотором базисе  е′  форма F  имеет

нормальный вид, и  = Е. Если  Т =, то = Т tT = =Т tЕТ= Т tТ,  и  det[F] = |Т tТ| = |T|2 > 0.  Рассмотрим подпространство Lk= <е1,е2,…,еk>. Очевидно, ограничение формы F на это подпространство > 0 ⇒  det = Мk > 0 ∀ k.

⇐ . Пусть все  Мk > 0. Тогда det[F] = Мп > 0. Рассмотрим подпространство  Lп-1 = <е1,…,еп-1>. Заменим базисный вектор  еп  на базисный вектор  ип,  f-ортогональный  к  Lп-1. Для этого будем искать  ип  в виде  ип = еп - α1е1 -…- αп-1еп-1,  причём потребуем, чтобы при  i =1,…, п-1  f(ип, еi)= 0  . Запишем эти уравнения в виде  f(еп - α1е1 -…- αп-1еп-1, еi)= 0  или в виде  f(α1е1 +…+ αп-1еп-1, еi) = f(eп, еi). Воспользовавшись линейностью  f  по  первому  аргументу,  получим  систему

(п-1)-го линейного уравнения с (п-1) неизвестным α1,…,αп-1: α1f(е1,еi)+…+αп-1f(еп-1, еi)= f(eп, еi), i =1,…, п-1. Определителем этой системы является  Мп-1 ≠ 0. Поэтому у этой системы существует единственное решение, которое можно найти, например, по правилу Крамера. Очевидно, система векторов  е′ = {е1,…,еп-1,uп}  линейно независима, то есть является базисом в  L. В этом базисе