Лекции по линейной алгебре (стр. 27 )

  Следуя (13.1), в матричном виде всё это можно записать так: е′ = е⋅Т,  х = е⋅[x] = е′⋅ [x]′ = е⋅Т⋅ [x]′ ⇒ [x] = Т⋅ [x]′.

  Очевидно, в матрице Т столбцы Т j, j=1,…,n, - линейно независимы (как столбцы ко­ординат в базисе е линейно независимых векторов e′1,…,e′n). Поэтому  detT ≠ 0 ⇒ ∃ T -1 ⇒  [x]′ = T -1⋅[x], то есть  T -1=.

14.2. Изменение матрицы линейного отображения

при изменении базисов.

  Пусть e={e1,…,en} и  e′ = {e′1,…,e′n} – два базиса в про­странстве Ln, u={u1,…,um} и  u′ = {u′1,…,u′m} – два базиса в пространстве Lm, Т1 = ,  Т2 = - матрицы перехода, и  φ : Ln → Lm - линейное отображение. Найдем зависимость между матрицами [] = [φ]  и  [] = [φ]′  линейного отображения  φ  в базисах  е, и  и  е′, и′  соответственно.

  Если  y = φ х, то  в базисах  е, и  имеем  [y] = [φ][x], а в  базисах  е′, и′  соответственно  [y]′ = [φ]′[x]′. Но  [x] =  Т1 [x]′,

[y]=Т2[y]′, так что Т2[y]′=[φ]Т1[x]′ и [y]′=Т2-1[φ]Т1[x]′= [φ]′[x]′. Отсюда [φ]′ = Т2-1[φ]Т1  или [] =-1[]. В частном случае при  Ln = Lm, е = и, е′ = и′  для линейного оператора

φ : Ln→ Lп  получаем [] = [], то есть  [φ]′= Т-1[φ]Т,

где  [φ] = [], [φ]′= [],  Т =. 

  Лемма. Для линейного оператора φ : Ln → Lп  det[]  не

зависит от базиса.

  Доказательство. det= det[φ]′ = det Т-1det[φ]det Т=

= det (Т-1Т)det[φ] = det Е det[φ] = det[φ] = det[].

  Определение. Определителем detφ  линейного оператора

φ : Ln → Lп  называется  det[] - определитель матрицы линейного оператора φ  в произвольном базисе е.

  Из леммы следует, что наше определение корректно.

  14.3. Эквивалентные матрицы.

  Введем на множестве Мп(Р)  квадратных матриц бинар­ное отношение ~ : будем считать, что для матриц А, В∈ Мп(Р)

выполняется  А~В ⇔  ∃ матрица Т∈ Мп(Р) такая, что |T| ≠ 0 и  А = Т-1ВТ.

  Утверждение. Отношение ~  на множестве Мп(Р) явля­ется отношением эквивалентности.

  Доказательство.

а)  ∀ А∈ Мп(Р)  А~А, так как при Т= Е имеем  А = Е –1АЕ, то есть отношение ~  рефлексивно.

в) Пусть А~В ⇒ ∃ Т∈ Мп(Р) такая, что А =Т-1ВТ ⇒ В=ТА Т-1= = (Т-1)-1А Т-1=Т1-1 А Т1, где Т1 = Т-1, поэтому В ~ А, то есть от­ношение ~  симметрично.

с) Пусть А~В и В~С ⇒ ∃ Т1,Т2∈ Мп(Р) такие, что А =Т1-1ВТ1 и В =Т2-1СТ2 ⇒ А= Т1-1Т2-1СТ2Т1= (Т2Т1 )-1С(Т2Т1) =Т3-1СТ3, где Т3 = Т2Т1, то есть отношение ~  транзитивно.

  Таким образом, отношение ~  является отношением экви­валентности.

  Далее мы будем использовать следующее 

  Определение. Матрицы  А, В∈ Мп(Р) называются эквивалентными  ⇔  ∃  матрица  Т∈ Мп(Р)  такая, что  |T| ≠  0  и

А = Т-1ВТ.

  Очевидно,  множество  матриц  Мп(Р)  разбивается на не­-

пересекающиеся классы эквивалентных матриц. Эти классы образуют фактор-множество  Мп(Р)⁄~.  Каждый класс эквива­лентных матриц состоит из матриц некоторого линейного оператора φ : Ln → Lп, записанных во всевозможных базисах пространства Ln. Пользуясь этим фактом, можно было дать другое определение отношения ~ и иначе доказать наше утверждение. Можно было считать, что  А~В ⇔ А и В являются матрицами одного и того же оператора, но записанными в разных (может быть, совпадающих) базисах. Тогда транзитивность отношения ~ следует из того, что если  А и В являются матрицами одного и того же оператора, В и С являются матрицами одного и того же оператора, то, конечно же, А и С являются матрицами одного и того же, того же самого опера­тора. Ещё более очевидна рефлексивность и симметричность отношения ~.

  Основной задачей теории матриц и теории линейных операторов является задача описания фактор-множества  Мп(Р)⁄~, то есть задача выбора в каждом классе единствен­ного наиболее простого представителя, или же выбора наи­более простого вида матрицы линейного оператора в некото­ром «хорошем» базисе - это задача классификации всех матриц (соответственно, всех операторов) с точностью до от­ношения эквивалентности ~ . Решение этой задачи будет оз­начать, что для любой матрицы мы сможем узнать, какой наиболее простой матрице она эквивалентна, какие пары матриц эквивалентны друг другу, сколько существует раз­личных матриц с точностью до эквивалентности. Для опера­торов это будет означать, что для любого оператора мы смо­жем узнать, к какому наиболее простому виду можно при­вести его матрицу выбором подходящего базиса, сколько существует различных операторов, насколько они похожи, как устроены, каков их геометрический смысл.

  Упражнение. Доказать, что если А~В, то detA = detB и rgA = rgB.

15. ОБРАЗ И ЯДРО ЛИНЕЙНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ

Пусть φ : L → L′ - линейное отображение.

  Определения.

1. Образом линейного отображения φ  называется множество Imφ  = {y ∈ L′ |∃ x∈ L:  y = φ x}, то есть Imφ = {φx| x ∈ L} =

= φL ⊂ L′.

2. Ядром линейного отображения φ  называется множество Kerφ = {x∈ L| φ x = 0}, то есть Kerφ = φ -1(0L′)⊂ L.

  Теорема 1.

Imφ  - подпространство в L′. Kerφ - подпространство в L.

Эта теорема – частный случай теоремы 2.

Теорема 2. Пусть φ : L → L′ - линейное отображение, V –

подпространство в L, W – подпространство в L′. Тогда φ V - подпространство в L′,  φ -1W – подпространство в L (образы и прообразы подпространств при линейных отображениях яв­ляются подпространствами).

Доказательство.

1. Пусть y1, y2∈φV ⇒ ∃ х1, х2∈ V такие, что y1=φх1, y2=φх2.

∀α,β∈Р  αх1+βх2∈V, так как V – подпространство ⇒ φ(αх1+βх2)=αφ х1+βφ х2= α у1+β у2∈φV⇒ φV - подпростран­ство.

2. Пусть  х1, х2∈ φ -1W ⇒ φх1, φх2∈ W ⇒ ∀α,β ∈ Р 

αφ х1+βφ х2 = φ(αх1+β х2) ∈ W, так как W – подпространство ⇒ αх1+βх2∈ φ -1W ⇒ φ -1W - подпространство.

  Теорема 3. φ - инъекция ⇔ Kerφ = {0}.

  Доказательство.

⇒ . Если Kerφ ? х ≠ 0, то φ х = φ 0 = 0 ⇒ φ - не инъекция.

⇐ . Если φ х1= φ х2, то φ х1 - φ х2= φ (х1 – х2)= 0 ⇒

х1 – х2∈ Kerφ = {0}  ⇒  х1 – х2= 0 ⇒ х1 = х2 ⇒φ - инъекция.

  Замечание. Kerφ - мера неинъективности отображения

φ: если  y =φ х, то φ -1y  = х + Kerφ .

  Доказательство.

1. φ (х + Kerφ)= φ х +φ(Kerφ)=у + 0 = у ⇒ φ -1y  ⊇ х + Kerφ.

2. Если  х′∈ φ -1y, то  φ х′ = φ х = у ⇒ φ(х′ - х) = 0

⇒ х′ - х ∈ Kerφ ⇒ х′ ∈ х + Kerφ ⇒ φ -1y  ⊆  х + Kerφ.

  Теорема 4 (структура Imφ). Пусть φ : L → L′ - линейное

отображение, е = {е1,…, еn} – базис в L, е′= {е′1,…, е′m} – ба­зис в L′,  [φ] - матрица φ  в базисах е, е′. Тогда:

Imφ = <φ е1,…,φ еn>, dim Imφ = rg[φ].

  Доказательство.

1. ∀x∈L,  x=,  φ х = φ()=∈<φ е1,…,φ еn>