Лекции по линейной алгебре (стр. 36 )

базисом  в  Cn.

  13.  Столбцы матрицы [] являются ортонормированным базисом в пространстве столбцов  Cп.

  14.  []t – матрица унитарного оператора.

  Доказательство теоремы аналогично доказательству теоремы 1 из  п.19.1.

  Упражнение. Доказать теорему 1. 

  Следствие. Если  φ  - унитарный оператор, то |det φ | = 1, то есть  detφ - комплексное число, у которого модуль равен 1.

  Доказательство.  Так как  []Т = Е,  то  detφ⋅  =

= detЕ = 1 ⇒ |det φ |2 = 1 ⇒ |det φ | = 1 .

  22.2. Унитарная  группа.

  Рассмотрим множество  U(Hn)  унитарных операторов на унитарном пространстве  Нn.  Пусть также  U(n) – множество унитарных  п×п-матриц,  SU(n)= {A∈ U(n)| detA=1},

SU(Hn) = {φ ∈ U(Hn)| detφ = 1}.

  Теорема 2.

1. U(Hn) – группа,  2. U(n) – группа,  3. U(Hn) ≈ U(n),

(Hn)– подгруппа в  U(Hn), (n) – подгруппа в  U(n).

  Доказательство теоремы аналогично доказательству теоремы 2 из  п.19.2.

  Упражнение. Доказать теорему 2. 

  22.3. Структура унитарного оператора.

  Лемма. Пусть φ : Н→ Н - унитарный оператор,  Н ⊃ L -

φ-инвариантное подпространство. Тогда L⊥ - φ-инвариантное

подпространство.

  Доказательство аналогично доказательству леммы из

п.19.3.

  Пусть φ : Нп → Нп - унитарный оператор. По теореме из п. 16.7  в  Нп  ∃  L1  - φ-инвариантное  подпространство  размерности  1. Тогда по лемме L1⊥ - φ-инвариантное  подпространство, и  Нп = L1⊕ L1⊥. Так как  φ  на L1⊥ - унитарный оператор, то в  L1⊥  ∃  L2  - φ-инвариантное  подпространство  размерности  1, и ортогональное дополнение  L′  к  L2  в  L1⊥  также φ-инвариантно. Далее,  Нп = L1⊕L2⊕L′, и в  L′  ∃  L3  - φ-инвариантное  подпространство  размерности  1, и так далее. В конце концов, мы получим разложение Нп= L1⊕…⊕Lп, где все Li – φ-инвариантны, попарно ортогональны, одномерны.

  Если L – унитарное пространство размерности 1, L = <e>, и  φ : L→ L - унитарный оператор, то φ е = cе, c ∈ C, 

(φ е,φ е)= (е, е) ⇔ |c|2(е, е) = (е, е) ⇔ |c|2=1, c = cosα + i⋅sinα .

  В разложении  Hп = L1⊕L2⊕…⊕Ln  выберем  в каждом  Li  единичный вектор. Объединение  и  этих векторов является ортонормированным базисом в Нп. В этом базисе матрица унитарного оператора  φ  имеет  диагональный вид:

[] = diag(λ1 ,λ2 ,...,λn), где все  λs =  cosα s + i⋅sinα s.

Таким образом, нами доказана структурная 

  Теорема. Для любого унитарного оператора φ : Нп → Нп  ∃  ортонормированный базис  и  пространства Нп, в котором матрица  φ  имеет вид:

[] = diag(λ1 ,λ2 ,...,λn), где все  λs = cosαs + i⋅sinαs.  (22.1)

Верно и обратное утверждение: если  [] имеет вид  (22.1), то φ  - унитарный оператор.

  На языке матриц теорему можно сформулировать так:

  Для любой унитарной матрицы  А  существует  унитарная матрица Т  (матрица перехода к новому ортонормированному базису) такая, что матрица  Т -1АТ  имеет вид  (22.1).

  Очевидно, любая матрица вида (22.1) – унитарная.

  Таким образом, любая унитарная матрица унитарно эквивалентна матрице вида (22.1).

  Упражнение. Определить, какие матрицы вида (22.1) унитарно эквивалентны друг другу.

Лекция 33.

23. ЭРМИТОВЫ  ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

  Изложение в этом пункте соответствует по аналогии изложению в п.20.

  23.1. Сопряженное линейное пространство.

  Рассмотрим  на  Нп  функцию  fa(х) = (х, а), где  а ∈ Нп.

  Упражнение. Проверить, что  fa ∈ (Нп)*.

  Рассмотрим отображение  Ф: Нп → (Нп)* такое, что для

а ∈ Нп  Ф(а) =  fa.

  Очевидно, Ф(а+b) = fa+b = Ф(а) + Ф(b) =  fa + fb, так как  fa+b(х) = (x, а+b) = (х, а) + (x, b) = fa(х) + fb(х) = ( fa + fb)(х).  Ф(αа) = fαa = Ф(а) = fa, так как  fαa(х)=(х, αа)= (х, а)= = (fa(х)) = (fa)(х).

  Следовательно,  Ф – не является линейным отображением. Будем называть такие отображения полулинейными.

  Упражнение. Пусть вектор  а  в ортонормированном базисе  и  имеет координаты  (a1, а2,…,ап). Проверить, что в сопряженном базисе  и*  функция  Ф(а) =  fa  имеет координаты (,,…,). Следовательно, Ф – биекция.

  Будем говорить, что Ф – полуизоморфизм пространств Нп и (Нп)*. Таким образом, нами доказано

  Утверждение. Отображение  Ф: Нп →  (Нп)*  такое, что

для  а ∈ Нп  Ф(а) = fa  является полуизоморфизмом линей-

ных пространств  Нп  и (Нп)*.

  Замечание. Полуизоморфизм  Ф  является каноническим, то есть он не зависит  от базиса.

  23.2. Сопряженные линейные операторы.

  Пусть  φ : Нп → Нп  - линейный оператор. Рассмотрим функцию  f(x) = (φ x, a).

  Упражнение.  Проверить, что  f  – линейная функция, то

есть  f∈ (Нп)*, и следовательно,  f =  fb  при некотором  b∈ Нп.

  Будем считать, что  b = φ*a, где  φ* : Нп → Нп - некоторое отображение. Из определения  φ*  получаем, что

(φ x, a) = (x, b) = (x, φ*a) или  (φ x, а) = (х, φ*a ).

  Утверждение.  φ* : Нп → Нп – линейный оператор.

  Упражнение. Доказать утверждение.

  Определение. Линейный оператор  φ*: Нп → Нп  называется сопряженным к линейному оператору  φ.

  Очевидно,  φ** = φ , так как  (φ х, у) = (х, φ*у) = (φ**х, у).

  Теорема. Для линейных операторов  φ  и ψ  на  Нп  эквивалентны следующие 5 условий  (и при выполнении любого из этих условий  ψ  = φ*,  φ  = ψ*):

1. (φ x, у) = (х, ψу) ∀ х, у ∈ Еп.

2. (φ еi, еj)= (еi,ψ еj) ∀ i, j  ∀  (для некоторого) базиса  е  в Еп.

3. (φ иi, иj) = (иi,ψ иj)  ∀ i, j  ∀  (для некоторого) ортонорми-

рованного  базиса  и  в Еп.

4. [] t⋅=⋅, или же  [] = -1⋅t⋅, где - матрица Грама для базиса  е  (доказать, что Г-1 ∃ - см. также п.26.1).

5. [] = t.

  Упражнение. Доказать теорему.

  23.3. Эрмитовы линейные операторы.

  Определение. Линейный оператор  φ: Нп → Нп  называется эрмитовым, если  φ* = φ , то есть если  ∀ х, у ∈  Нп

(φ х, у) = (х, φ у). 

  Теорема. Для линейного оператора  φ  на  Нп эквивалентны следующие 5 условий  (и при выполнении любого из этих