Лекции по линейной алгебре (стр. 24 )

Если , ≠ 0, - простейшая дробь в нашем разложении с наивысшей степенью многочлена р1  в знаменателе, то общим знаменателем для суммы будет , где h на р1 не делится. Умножим равенство = 0 на общий знаменатель. Получим: +сумма всех остальных слагаемых, содержащих множитель р1, = 0, то есть +р1Н = 0. Но и h  не делятся на  р1. Мы получили противоречие. Отсюда следует единственность разложения на простейшие дроби.

Лекция 24.

  12. ПРЯМЫЕ СУММЫ ПОДПРОСТРАНСТВ

  Определение. Пусть L1, L2 – подпространства в L. Тогда по определению сумма подпространств

L1 + L2 = {x + y | x∈ L1, y ∈ L2}.

Аналогично, L1 +…+ Lт = {x1 +…+ хт | x1∈ L1,…,хт∈ Lт}.

  Упражнения.

Доказать, что  L1 + L2  - подпространство. Доказать, что L1 + L2  - 3)наименьшее 1)подпространст-

во, 2)содержащее L1 и L2 .

  3. Доказать, что (L1 + L2)+ L3 = L1 +( L2+ L3 ).

  Определение. Сумма  L1 + L2  подпространств  L1  и L2  называется прямой и обозначается L1 ⊕ L2  (или L1∔ L2), если ∀х∈ L1 + L2  представление  х = х1 + х2 ,  х1∈ L1,  х2∈L2 , однозначно.

Аналогично, L1+…+ Lт = L1 ⊕…⊕ Lт – прямая сумма  т  подпространств, если  ∀х∈ L1 +…+ Lт  представление 

х = х1 +…+ хт,  хi∈ Li,  однозначно.

  Теорема 1. L1 + L2 = L1 ⊕ L2  ⇔  L1L2 = {0}.

  Доказательство.

⇒. Пусть L1L2 ? х, х ≠ 0 ⇒  х = х + 0,  х∈ L1, 0∈L2 ,

х = 0 + х, 0∈ L1, х ∈ L2 . Следовательно, для  х  представление неоднозначно, то есть сумма подпространств – не прямая.

⇐. Пусть L1L2 = {0}, и для  а ∈ L1+ L2  имеем два представления  а = х1 + х2 = у1 + у2 ,  х1 , у1 ∈ L1,  х2, у2∈ L2 . Тогда  х1 – у1 = у2 – х2∈ L1L2 = {0} ⇒  х1 = у1 ,  х2 = у2 . Следовательно, оба представления для  а  совпадают, и сумма подпространств – прямая.

  Упражнение. Доказать, что L1 +…+Lk = L1 ⊕…⊕Lk ⇔

(L1 +…+Li )Li+1 = {0} ∀ i =1,2,…,k-1.

  Теорема 2. Пусть {e1 ,…,ek} – базис подпространства L1, {ek+1 ,…,em} – базис подпространства L2 . Тогда 

L1 + L2 = L1 ⊕ L2  ⇔  {e1 ,…,ek}{ek+1 ,…,em} – базис подпро-

странства L1 + L2.

  Доказательство.

⇒. Пусть L1 + L2 = L1 ⊕ L2. Тогда ∀х∈ L1 + L2  представление  х = х1 + х2 ,  х1∈ L1,  х2∈L2 , однозначно. И однозначным является выражение векторов  х1 , х2  через базисы подпространств:  х1 = α1е1+…+αkеk,  х2 = αk+1еk+1+…+αmеm. Следовательно, и выражение  х = α1е1+…+αkеk+αk+1еk+1+…+αmеm  однозначно ⇒ {e1 ,…,ek, ek+1 ,…,em} – базис подпространства L1 + L2.

⇐. Если {e1 ,…,ek, ek+1 ,…,em} – базис подпространства L1 + L2, то ∀х∈L1+ L2 выражение х = α1е1+…+αkеk+αk+1еk+1+…+αmеm  однозначно. Тогда и для х1 = α1е1+…+αkеk ∈ L1,

х2 = αk+1еk+1+…+αmеm∈ L2 представление х = х1 + х2 – однозначно, то есть L1 + L2 = L1 ⊕ L2.

  Следствие.  dim(L1 ⊕ L2) = dim L1 + dim L2.

  Упражнение. Доказать, что  L1+…+Lk = L1⊕…⊕Lk ⇔ объединение базисов всех подпространств  Li  является базисом подпространства L1 +…+Lk.

  Теорема 3.  dim(L1 + L2) + dim(L1L2)= dimL1 + dim L2 .

  Доказательство. Пусть {e1 ,…,ed} – базис в L1L2 . Дополним его до базиса  {e1 ,…,ed, f1 ,…, fk } подпространства  L1  и до базиса  {e1 ,…,ed, g1 ,…,gm} подпространства  L2. Покажем, что {e1 ,…,ed, f1 ,…, fk, g1 ,…,gm} – базис подпространства L1+ L2 . В самом деле, ∀х∈ L1 + L2,  х = х1 + х2 ,  х1∈ L1, х2∈L2, х1∈ <е1,…,еd, f1,…, fk >,  х2∈ <е1,…,еd, g1,…, gm >  ⇒

х1 + х2∈ <е1,…,еd, f1,…, fk, g1,…, gm >. Покажем, что система векторов {е1,…,еd, f1,…, fk, g1,…, gm } линейно независима. Пусть α1е1+…+αdеd +β1f1+…+βkfk +γ1g1+…+γmgm = 0. Тогда α1е1+…+αdеd +β1f1+…+βkfk = -(γ1g1+…+γmgm ) ∈ L1L2 ⇒  β1=…=βk = 0 ⇒ α1е1+…+αdеd +γ1g1+…+γmgm = 0 ⇒

α1=…=αd=γ1=…=γm=0, так как {e1 ,…,ed, g1 ,…,gm} – базис подпространства  L2.  Следовательно, векторы

{е1,…,еd, f1,…, fk, g1,…, gm }  линейно независимы, и

dim(L1 + L2)= d + k + m = dimL1 + dim L2 - dim(L1L2).

ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ

13.1. Линейное отображение и его матрица.

Пусть L, L′ - линейные пространства над полем P.

Определение. Отображение φ: L → L′ называется линей-

ным отображением, если

1. ∀ a, b ∈ L  φ(a+b) = φ a + φ b,

2. ∀ a ∈ L  ∀α ∈ P  φ(α⋅a) = α⋅φ a.

Очевидно, условия 1-2 эквивалентны условию 3:

3.  ∀ a, b ∈ L  ∀α, β ∈ P  φ(α⋅a+β⋅b) = α⋅φ a + β⋅φ b.

В самом деле, 3 следует из 1 и 2: φ(α⋅a+β⋅b)=φ(α⋅a)+φ(β⋅b) = =α⋅φa + β⋅φ b,  1 следует из 3 при  β = 0,  2 следует из 3 при α = β = 1. 

Определение. Если линейное отображение φ  является

биекцией, то φ - изоморфизм линейных пространств L и  L′.

Примеры.

pr: E3→ E2 - ортогональная проекция пространства  E3

с  ортонормированным  базисом  i, j, k  на  подпро­странство

E2 = i, j >  параллельно подпространству k >  (оси Oz ).

φ:  E3→ E3, ∀x ∈ E3  φ x = [a, x] – векторное произве-

дение вектора  х  на  фиксированный вектор  a ∈ E3.

φ = :  Pn[x] → Pn-1[x] – отображение дифференци-

рования.

φ: Pn[x] → P, где ∀f ∈ Pn[x] по определению

φ(f) = f(16).

φ: Pп[x] → Pп+1[x], где ∀f ∈ P[x] по определению

φ(f) = х⋅f.

Замечание. Очевидно, можно считать, что в примере 1

pr – отображение из E3 в E3, а в примере 3  φ:  Pn[x] → Pn[x].

Упражнение. Доказать линейность отображений из при-

меров 1-5.

Простейшие свойства линейных отображений.

φ(0L)= 0L′ , но в общем случае φ -1(0L′)≠ 0L, хотя 

  φ -1(0L′)? 0L – см. примеры 1- 4. 

φ(-a) = - φ a  ∀a ∈ L. φ()= .

  Действительно, φ(0L) = φ(0⋅0L) = 0⋅φ(0L) = 0,

φ(-a)= φ((-1)⋅a)= (-1)⋅φ a = - φ a, а свойство 3 доказывается индукцией по k.

Упражнение. Найти φ -1(0L′ ) в примерах 1-5.

Матрица линейного отображения.

Пусть Ln, Lm - линейные пространства над полем P,

φ: Ln → Lm - линейное отображение, e={e1,…,en} - произволь­ный базис в Ln.

  Лемма 1. Линейное отображение  φ: Ln → Lm  полностью и однозначно определяется образами базисных векторов

φ e1 ,…,φ en.

  Доказательство.  Пусть x ∈Ln,  x =. Тогда

φ x = φ()=⇒ ∀ x∈Ln  φx  определяется  векторами  φ e1 ,…,φ en  причем  однозначно.

Пусть φ: Ln → Lm - линейное отображение, e={e1,…,en} –

базис в Ln,  e′={e′1,…,e′m} – базис в Lm. Выразим векторы φ ej  через базис e′.  Пусть φ ej  =, j=1,…,n. Матрицу