Лекции по линейной алгебре (стр. 33 )

  Определение. Матрица А называется ортогональной, если  А - матрица некоторого ортогонального оператора в ортонормированном базисе, то есть, если для неё выполняется одно из эквивалентных  условий Теоремы 1 под номерами 7, 9, 10, 11, 12, 13 или 14.

  19.2. Ортогональная  группа.

  Рассмотрим множество  О(Еn)  ортогональных операторов

на евклидовом пространстве  Еn.  Пусть также  O(n) – множе-

ство ортогональных  п×п-матриц,  SO(n)= {A∈ О(n)| detA=1},

SО(Еn) = {φ ∈ О(Еn)| detφ = 1}.

  Теорема 2.

1. О(Еn) – группа,  2. O(n) – группа,  3. О(Еn) ≈ O(n),

4. SО(Еn) – подгруппа в  О(Еn), 5. SO(n) – подгруппа в  O(n).

  Доказательство.

1. I. Пусть  φ, ψ ∈ О(Еn) ⇒ ∀ х, у ∈ Еn  ((φψ)х, (φψ)у) =

= (φ(ψх), φ(ψу)) = (ψх,ψу) = (х, у) ⇒ φψ ∈ О(Еn).

II. 1. Как и для любых отображений любых множеств, умножение ортогональных операторов ассоциативно.

  2. Очевидно, (idx, idy)=(x, y) ∀ х, у ∈ Еn, то есть О(Еn)? id – нейтральный элемент.

  3. Пусть  φ ∈ О(Еn). Тогда  φ -1∈ О(Еn) – см. утверждение 2  из п.19.1.

  Следовательно, О(Еn) – группа.

2. I. Пусть  A, B∈ О(n) ⇒  A t = A -1, B t = B -1 ⇒ (AB)t = B tAt= = B-1A-1 = (AB)-1 ⇒  AB∈ О(n).

II. 1. Нам уже известно, что умножение любых матриц ассоциативно (конечно, если оно определено).

2.  Е t = Е -1 ⇒ О(n) ? Е – нейтральный элемент.

3. Если  A∈ О(n), то  | A | = ±1 ⇒ A-1  ∃  ⇒ (A-1)t = (At)t = A = =(A-1) -1⇒ A -1∈ О(n).

  Следовательно, О(п) – группа.

3. Очевидно, биекция  φ  → [] из  О(Еn) в  О(n) ( и  - некоторый ортонормированный базис) является изоморфизмом групп  ( так как  [φψ] = [φ][ψ] ,  [φ -1] = [φ] -1, [id] = E ).

  Упражнение. Доказать утверждения 4, 5 из теоремы 2. 

  19.3. Структура ортогонального оператора.

  Лемма. Пусть φ : Е→ Е - ортогональный оператор, Е⊃ L -

φ-инвариантное подпространство. Тогда L⊥ - φ-инвариантное

подпространство.

  Доказательство. ∀ х∈ L, y ∈ L⊥  (φ x, φ y) = (x, y) = 0 ⇒ φ(L⊥)⊥ φ L. Но  φ L = L  (так как  φ|L – ортогональный и невырожденный) ⇒  φ(L⊥)⊥ L  ⇒  φ(L⊥)⊆ L⊥ (на самом деле,  φ(L⊥) = L⊥, так как  φ  на  L⊥ -  ортогональный и невырожден-

ный).

  Пусть φ : Еп → Еп  - ортогональный оператор. По теореме из п. 16.7  в  Еп  ∃  L1  - φ-инвариантное  подпространство  размерности  1 или 2. Тогда по лемме L1⊥ - φ-инвариантное  подпространство, и  Еп = L1⊕ L1⊥. Так как  φ  на L1⊥ - ортогональный оператор, то в  L1⊥  ∃  L2  - φ-инвариантное  подпространство  размерности  1 или 2, и ортогональное дополнение  L′  к  L2  в  L1⊥  также φ-инвариантно. Далее,

Еп = L1⊕L2⊕L′, и в  L′  ∃  L3  - φ-инвариантное  подпространство  размерности  1 или 2, и так далее. В конце концов, мы получим разложение Еп = L1⊕L2⊕…⊕Lq, где все Li –

φ-инвариантны, попарно ортогональны, и можно считать, что dimL1 = dimL2 =…= dimLs = 2,  dimLs+1 =…= dimLq = 1.

  Если  L – евклидово пространство размерности 1, L = <e>, и  φ : L → L  - ортогональный оператор, то φ е = α е, 

(φ е,φ е) = (е, е) ⇒ α 2(е, е) = (е, е) ⇒ α 2=1, α = ±1 ⇒ φ = ± id.

  Если же  L – евклидово пространство размерности 2,

L = <и1, и2>, где  {и1, и2} – ортонормированный базис в  L,  и

φ : L → L  - ортогональный оператор, то |φ и1| = | и1| = 1 ⇒  φ и1= cosα ⋅ и1+ sin α ⋅ и2 ; |φ и2|= | и2|=1, (φ и2,φ и1)=(и2, и1)= = 0  ⇒φ и2 = ±(-sinα ⋅ и1 + cos α ⋅ и2).

a) Если φ и2= - sinα ⋅ и1+ cos α ⋅ и2, то  [] = ,

и  φ  - поворот  L  на угол  α  против часовой стрелки.

б) Если φ и2= sinα ⋅ и1 - cos α ⋅ и2, то  [] = , и характеристический многочлен χφ(t)= t2 – 1. Для собственных значений  t1,2 = ±1  ∃  два собственных вектора  е1, е2 . Так как (φ е1, φ е2)= (+е1, - е2)= (е1, е2), то  (е1, е2) = 0,  е1⊥ е2. Пусть  L′  =  <e1>,  L′′  = <e2>.  Тогда  L = L′ ⊕ L′′ - прямая

сумма одномерных взаимно ортогональных φ-инвариантных

подпространств таких, что  φ|L′ = id,  φ|L′′ = - id. 

  В разложении  Еп = L1⊕L2⊕…⊕Lq  выберем  в каждом  Li  ортонормированный базис. Объединение  и  этих базисов является ортонормированным базисом в Еп. В этом базисе матрица ортогонального оператора  φ  имеет клеточно-диаго - нальный вид:

  [] = , 

где  П(αi) = . Заметим, что = П(π),  = П(0). Таким образом, нами доказана структурная 

  Теорема. Для любого ортогонального оператора

φ : Еп → Еп  ∃  ортонормированный базис  и  евклидова пространства, в котором матрица  φ  имеет вид:

  [] = .  (19.1)

В матрице  -1 и  1 взяты в скобки, что означает, что эти элементы могут присутствовать, а могут и отсутствовать. Верно и обратное утверждение: если  []  имеет вид  (19.1), то  φ  -

ортогональный оператор.

  На языке матриц теорему можно сформулировать так:

  Для любой ортогональной матрицы  А  ∃  ортогональная матрица Т  (матрица перехода к новому ортонормированному базису) такая, что матрица  Т -1АТ  имеет вид  (19.1).

  Очевидно, любая матрица вида (19.1) – ортогональная.

Лекция 31.

20. САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

  20.1. Сопряженные линейные пространства.

  Пусть L =Ln – линейное пространство над полем Р. Обозначим через  L* множество линейных функций на L со значениями в Р (см. п.13.1, важный частный случай линейных отображений). Так как множество Ф(Ln, Lm)={φ: Ln → Lm}  линейных отображе­ний из Ln в Lm с операциями сложения и умножения на эле­менты поля является линейным пространством  над полем  P  (см. п.13.5)  и существует изоморфизм линейных пространств  Ф(Ln, Lm)≈ Мт, п(Р), то L*= Ф(Ln, Р) - линейное пространство, и L*≈ М1,п(Р)= Р n⇒ dimL*=n= dimL. В частности,  L*≈ L, но этот изоморфизм не канонический – он зависит от выбора базисов в  L и  L*.

  В качестве базисного вектора одномерного линейного пространства Р  возьмем 1Р. Пусть  е = {e1,…,eп} – базис пространства  L,  х = х1e1+…+хпeп,  f ∈ L*. Тогда

f(x) = х1f(e1)+…+хпf(en) = х1α1+…+хпαn, где все  αi ∈ P,

αi = f(ei) = αi⋅1Р, и  f  ↔  [] = (α1,…,αn )∈ Р n.  Базисным

строчкам (0,0,…,0,,0,…,0) в  Р n  соответствуют в  L* линейные  функции еi такие, что еi(х)= 0⋅х1+…+1⋅хi+…+0⋅хn= хi. Очевидно, е*= {е1,…,еn} – базис в L*, и  f = α1е1+…+αпеп.

Кроме того,  еi(еj)= δ ij =

  Определение. Линейное пространство  L* называется

сопряженным (или двойственным, или дуальным) к простра-

нству  L. Базис  е* называется сопряженным (или двойственным, или дуальным) к базису  е.

  Пусть теперь L= Еп,  fa(х)= (a, x).

  Упражнение. Проверить, что  fa ∈ (Еп)*.

  Утверждение. Отображение  Ф: Еп → (Еп)* такое, что для а ∈ Еп  Ф(а) = fa  является изоморфизмом линейных пространств Еп  и (Еп)*.