Лекции по линейной алгебре (стр. 20 )

  Для матричного уравнения  YA = В  решение Y = BA-1 = =ВP1P2…Pt  получается проделыванием над столбцами матрицы В тех же ЭП, которые проделывались над столбцами матрицы А при приведении её к единичной матрице Е. На практике это делают так: записывают матрицу вида , и над «высокими» столбцами этой матрицы делают ЭП так, чтобы сверху получилась матрица Е. Тогда снизу получится матрица ВА-1.

  9.6. Ранг произведения матриц.

  Теорема. Пусть А – (т, п)-матрица, В - (п, k)-матрица. Тогда rg(AB) ≤ min(rgA, rgB).

  Доказательство. Пусть А1, А2,…,Ап – столбцы матрицы А, 

А = (А1, А2,…,Ап). Тогда  rgA = dim<А1, А2,…,Ап>. Пусть сначала  В = В1 – (п,1)- матрица-столбец, В=. Тогда

АВ1=α1А1+α2А2+…+αпАп - (п,1)- матрица-столбец, и

АВ1∈ <А1, А2,…,Ап>.

  Теперь для произвольной (п, k)-матрицы В, записанной по столбцам,  В =(В1,В2,…,Вk), имеем АВ = (АВ1,…, АВп). Так как все АВi ∈ <А1, А2,…,Ап>, то <АВ1,…, АВп>∈ <А1, А2,…,Ап>, и dim<АВ1,…, АВп> ≤  dim <А1, А2,…,Ап>, то есть rg(АВ) ≤ rg A. Неравенство  rg(АВ) ≤ rg В можно доказать аналогично, рассматривая линейную оболочку строчек матрицы В. А можно получить из доказанного следующим образом:

rg(АВ)= rg(АВ)T = rg(BTAT) ≤  rgBT = rgB.

Лекция 20.

АЛГЕБРА МНОГОЧЛЕНОВ
10.1. Построение алгебры многочленов.

  Пусть Р – произвольное поле.

Определение. Многочленом с коэффициентами в поле Р

будем называть бесконечную строчку (α0,α1,α2,α3,…), где все компоненты  α0,α1,α2,α3,…∈ P  и почти все α i (то есть все, за исключением конечного числа) равны 0. Множество многочленов будем обозначать P[x].

  I. Определим на множестве P[x] операции:

пусть для  f = (α0,α1,α2,…), g = (β0, β1, β2,…)∈ P[x], λ∈ P  по определению λ⋅f = (λα0, λα1, λα2,…),

f + g = (α0 +β0, α1 +β1, α2 +β2,…),  f⋅g =(γ0, γ1, γ2,…), где

γ0 =α0β0 , γ1 = α0β1+α1β0 , γ2 =α0β2+α1β1 +α2β0 , и ∀ k ≥ 0  γk =α0βk+α1βk-1+α2βk-2 + …+αkβ0 = =. Очевидно, у строчек λ⋅f, f + g, f⋅g  также почти все компоненты равны нулю, то есть λ⋅f,  f + g,  f⋅g  содержатся в P[x].

  II. Легко проверить, что для определенных нами операций выполнены свойства АКУ-кольца (см. Лекцию 11): 

(f + g) + h = f + (g + h)  ∀ f, g, h ∈ P[x], ∃ элемент  0Р[x]∈ P[x], 0Р[x] = (0,0,0,…)  такой, что  0Р[x]+ f = f + 0Р[x] = f  ∀ f∈ P[x],  ∀ f∈ P[x]  ∃  элемент - f∈ P[x] такой, что (- f)+f = 0Р[x], f + g = g + f  ∀ f, g ∈ P[x], (fg)h = f(gh)  ∀ f, g, h ∈ P[x], ∃  элемент  1Р[x]∈ P[x], 1Р[x] = (1,0,0,…)  такой, что 

  1Р[x]⋅f = f⋅1Р[x] = f  ∀ f∈ P[x],

8.  fg = g f  ∀ f, g ∈ P[x],

9.  (f + g)h = fh +gh  ∀ f, g, h ∈ P[x],

а также выполнены свойства линейного пространства:

v. λ(f+g) = λf+λg  ∀ f, g∈ P[x], ∀λ∈ P,

vi. (λ+μ)f = λ f+μ f  ∀ f∈ P[x], ∀λ, μ∈ P,

vii. (λμ)f = λ(μ f)  ∀ f∈ P[x], ∀λ, μ∈ P,

viii. 1⋅f = f  ∀ f∈ P[x],

и свойство  λ(fg) = (λf)g = f(λg)  ∀ f, g∈ P[x], ∀λ∈ P.

  Проверим, например, свойство 5. Пусть  f = (α0,α1,α2,…), g = (β0, β1, β2,…), h =  (γ0, γ 1, γ2,…), fg =(δ0, δ1, δ 2,…).  Тогда δк =, и s-я компонента строчки (fg)h равна

=, то есть совпадает с s-й компонентой строчки f(gh)  ∀ s.  Отсюда (fg)h = f(gh). 

  Упражнение. Доказать остальные свойства.

  Таким образом, мы получаем, что  P[x] является АКУ-кольцом, линейным пространством и алгеброй над полем Р

(см. Лекцию 18, п.9.1). 

  Определение. Пусть f = (α0,α1,α2,…), и αk ≠ 0, а при m > k  все αm = 0.  Тогда мы будем говорить, что степень многочлена f  равна k и писать ст. f = k или deg. f = k. Будем считать по определению, что  ст.0Р[x] = - ∞ .

  Обозначим многочлен  (0,1,0,0,0,…) через  х. Тогда легко проверить, что х2=(0,0,1,0,0,…), х3= (0,0,0,1,0,…),…, и значит, f = (α0,α1,α2,…)= (α0,0,0,0,…)+(0,α1,0,0,…)+(0,0,α2,0,…)+…=

= α0(1,0,0,0,…) + α1(0,1,0,0,…) + α2(0,0,1 ,0,…) + …= α01Р[x]+ +α1х +α2х2+… Если в этом выражении не писать нулевые слагаемые и множитель 1Р[x], то  f = α0 + α1х + α2х2+ …+αkхk, где k = ст. f.

  Теорема. ст.(fg) = ст. f + ст. g.

  Доказательство. Если  f = 0Р[x]  или g = 0Р[x] , то левая и правая части равенства равны -∞, и утверждение теоремы верно. Если же ст. f ≥ 0,  f=αkхk + αk-1хk-1+…+ α1х + α0, αk≠ 0, ст. g ≥ 0, g= βmхm + βm-1хm-1+…+ β1х + β0 ,  βm≠ 0, то

fg = αkβmхk+m+…, и αkβm ≠ 0 ⇒ ст.(fg) = k + m = ст. f + ст. g.

  Следствие. В кольце Р[x] нет делителей нуля.

  При построении кольца многочленов вместо поля Р можно аналогичным образом использовать произвольное АКУ-кольцо А. В этом случае мы получим АКУ-кольцо многочленов А[x] с коэффициентами в кольце А. Так, например, если А = Z, то мы получим кольцо многочленов Z[x] с целыми коэффициентами. Если А = Р[x1], то кольцо А[x2] = Р[x1][x2] = =Р[x1,x2] – это кольцо многочленов от двух переменных с коэффициентами в поле Р.

  Замечания.

  1. Легко видеть, что кольца Р[x1][x2] и Р[х2][x1] – изоморфны (определение изоморфизма для колец такое же, как и для полей – см. Лекцию 12, 6.5).

  2. Аналогичным образом ∀ п строится кольцо многочленов от п  переменных  P[x1,…,xn] с коэффициентами в поле Р.

  Далее мы будем рассматривать кольцо многочленов  Р[x]

с коэффициентами в некотором поле Р.

  Когда это не вызовет недоразумений, мы будем обозначать нейтральные элементы кольца Р[х] через 0  и 1.

10.2. Деление многочленов с остатком. Теорема Безу.

  Теорема 1. В кольце P[x] деление с остатком существует и единственно, то есть ∀ f(x), g(x)∈ P[x], g(x)≠ 0, ∃ единственная пара q(x), r(x)∈ P[x] такая, что  f(x) = g(x)q(x)+ r(x) и ст. r(x) ст. g(x). (r(x) называется остатком от деления  f на g).

  Доказательство существования деления индукцией по степени многочлена f.

  Пусть f = αkхk + αk-1хk-1 +…+ α1х + α0,

g = βmхm + βm-1хm-1 +…+ β1х + β0 . 

  1. Если ст. f ст. g, то f = g⋅0+ f, то есть q, r существуют, q= 0, r = f.

  2. Если  ст. f ≥ ст. g, то рассмотрим  f1 = f - αk(βm)-1 x k-mg. Очевидно, ст. f1 ст. f, и по предположению индукции можно считать, что для  f1  и g  утверждение верно, то есть  ∃ q1, r1∈ P[x] такие, что  f1 = gq1 + r1 , и ст. r1 ст. g.  Но тогда 

f = f1 + αk(βm)-1x k-mg = gq1 + r1 + αk(βm)-1x k-mg =

= g(q1+αk(βm)-1x k-m)+r1= gq + r, где q = q1+αk(βm)-1x k-m, r = r1,

и ст. r1 ст. g.  Таким образом, существование деления с остатком в  P[x]  доказано.

  Докажем единственность. Пусть  f = gq + r = gq1 + r1,  и ст. r ст. g,  ст. r1 ст. g. Тогда g(q – q1)= r1 - r, и если  q ≠ q1, то ст. g(q – q1)≥ ст. g, а ст.(r1 – r) ст. g - противоречие. Значит, q = q1,  r = r1. Это и означает единственность деления с остатком в  P[x].

  Теорема Безу. Пусть  f ∈ P[x], a∈ P.  Если  r – остаток от деления многочлена  f  на (х – а), то  r = f(a).

  Доказательство. Пусть  f =(x – a)q +r, ст. r ст.(х – а)=1  ⇒ r∈ P,  и  при  х = а  f(а) =(а – a)q(а) +r  ⇒ r = f(а).

  Следствия.

  1. Если многочлен  f(x)  имеет корень а, то есть  f(a) = 0, то (х – а) | f(a),  f(x) = (х – а)g(x).

  2. Если многочлен f(x) имеет различные корни а1,а2,…, аk, то f(x) = (х – а1)(х – а2)… (х – аk)h(x).

  Доказательство. В самом деле, если  f(x) имеет корень а1, то  f(x) = (х – а1)f1(x). Далее, если  f(а2) = 0, то

f(а2) = (а2 – а1)f1(а2) = 0 ⇒  f1(а2) = 0 ⇒  f1(x) = (х – а2)f2(x) ⇒ f(x) = (х – а1)(х – а2) f2(x). И так далее.

  3. Если  f(x) имеет k  различных корней, то k ≤ ст. f.

Лекция 21.

  10.3. Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель многочленов.

Определение. Многочлен F  называется кратным многочлена f, если  f |F. Многочлен F  называется общим кратным многочленов  f  и  g, если  f |F, g |F. Многочлен т  называется наименьшим общим кратным многочленов  f  и g, если  т ≠ 0  и  т  имеет наименьшую степень среди всех общих кратных.