Теоретическая механика (стр. 10 )

10. Определим начальные условия движения точки на участке ВС. Согласно рис. 1.17 имеем: Х0 = 0; = VB·cos(α); Y0 = 0; = VB·sin(α).

11. На точку действует только одна активная сила G – сила тяжести. Реакций связей нет, поскольку сопротивление воздуха не учитывается.

12. Основное уравнение динамики для точки имеет вид

m·a = ΣFiE + ΣRiE = G.

Запишем дифференциальные уравнения движения точки.

m·= Σ + Σ = 0; (3)

m·= Σ + Σ = G = m·g. (4)

13. Проинтегрируем последние уравнения. Так как масса точки m ≠ 0, то из уравнения (3) имеем  = 0. Отсюда следует, что = C3 = const, где  – проекция скорости на координатную ось ВХ; С3 – постоянная интегрирования. Определим С3 по начальным условиям движения. При t0 = 0 имеем = VB·cos(α) = C3. Так как  = const, то окончательно получим выражение  = VB·cos(α). Другими словами, в любой момент времени проекция скорости на координатную ось ВХ постоянна, т. е. не зависит от времени.

Проинтегрировав последнее выражение, получим

X = VB·cos(α)·t + C4,

где С4 – постоянная интегрирования.

Определим эту постоянную по начальным условиям движения. При t0 = 0 имеем X0 = 0 = VB·cos(α)·t0 + C4. Отсюда получим С4 = 0. Окончательно текущее значение координаты X точки находят по формуле

X = VB·cos(α)·t.

Дифференциальное уравнение (4) движения точки приведем к виду = g. Проинтегрируем это выражение и получим

 = g·t + C5,

где  – текущее значение проекции скорости на координатную ось BY; С5 – постоянная интегрирования.

По начальным условиям движения имеем

= VB·sin(α) = g·t0 + C5.

Отсюда С5 = VB·sin(α). Тогда  = g·t + VB·sin(α).

Проведём интегрирование последнего выражения.

Y = g·t2/2 + VB·sin(α)·t + C6.

Определим постоянную интегрирования С6. При t0 = 0 имеем

Y0 = 0 = g·(t0)2/2 + VB·sin(α)·t0 + C6.

Тогда С6 = 0.

Текущее значение координаты y находят по формуле

Y = g·t2/2 + VB·sin(α)·t.

Таким образом, получаем выражения для определения текущих значений координат X, Y и проекций ,  скорости точки при её движении по траектории ВС. В момент времени Т, когда тело находится в точке С траектории его движения (см. рис. 1.17), эти выражения приобретают следующий вид:

= VB·cos(α);  = g·Т + VB·sin(α);

d = VB·cos(α)·T; h = g·T2/2 + VB·sin(α)·T,

где ,  – проекции скорости VC на координатные оси; d, h – координаты точки С в системе отсчёта ВXY.

По условию задачи требуется определить модуль скорости тела в точке С траектории его движения. Для этого используется формула .

Таким образом, для определения неизвестных величин необходимо совместно решить следующую систему уравнений:

VB = g·(sin(α) – f·cos(α))·τ + VA;

l = g·(sin(α) – f·cos(α))·τ2/2 + VA τ;

= VB·cos(α);  = g·Т + VB·sin(α);

d = VB·cos(α)·T; h = g·T2/2 + VB·sin(α)·T;

.

В этой системе уравнений неизвестными величинами являются: VB, τ, d, T, , , VC.

Таким образом, имеем семь уравнений, содержащих семь неизвестных.

Для координации вектора VC скорости тела в точке С пространства рекомендуется определить величину угла β, составленного направлением этой скорости с положительным направлением отсчета координаты Х по формулам:

cos(VC, i) = /VC; β = arcos(/VC).

Результаты проведённых расчётов сводят в таблицу.

 

Вопросы и задания для самоконтроля

 

1.         Сформулировать первый закон динамики (закон инерции).

2.         Сформулировать второй закон динамики (закон пропорциональности силы и ускорения).

3.         Сформулировать третий закон динамики (закон равенства действия и противодействия).

4.         Сформулировать четвёртый закон динамики (закон независимости действия сил).

5.         Сформулировать определение понятия «инерциальная система отсчёта».

6.         Записать основное уравнение динамики несвободной материальной точки.

7.         Записать дифференциальные уравнения движения несвободной материальной точки в декартовой системе отсчёта.

8.         Записать дифференциальные уравнения движения несвободной материальной точки в естественных координатных осях.

9.         Сформулировать суть первой задачи динамики.

10.          Сформулировать суть второй задачи динамики.

11.          Как определяются постоянные интегрирования при решении второй задачи динамики?

2. КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ И ТЕЛА

 

2.1. Виды колебательных движений материальной точки

 

Колебательное движение материального тела происходит при условии, когда на него действует сила, стремящаяся вернуть его в положение статического равновесия. Такую силу называют восстанавливающей.

 

Восстанавливающая сила – сила, стремящаяся вернуть тело или точку в положение статического равновесия.

 

Примером такой силы является сила упругости Fyn пружины (рис. 2.1).

Рассмотрим движение тела весом G по гладкой горизонтальной поверхности в инерциальной системе отсчёта OYZ. Начало системы отсчёта поместим в положение статического равновесия тела. В этом случае пружина не деформирована и имеет размер l0. В положении статического равновесия (см. рис. 2.1,а) на тело действуют активная сила G (сила тяжести) и реакция N гладкой поверхности.

 

Если из исходного положения равновесия тело переместить на расстояние Y0 и сообщить ему начальную скорость V0, то оно будет совершать поступательное движение.

Из курса кинематики известно, что уравнения поступательного движения тела такие же, как и уравнения движения точки. На основании изложенного движение этого тела можно рассматривать как движение материальной точки массой m = G/g, на которую действуют активная сила G (сила тяжести) и реакции N, Fyn внешних связей (рис. 2.1,б). В рассматриваемом случае основное уравнение динамики имеет вид

m·a = ΣFiE + ΣRiE = G + N + Fyn.

Сила Fyn является реакцией деформированной пружины. Сила Fyn всегда направлена к положению статического равновесия точки. Из рис. 2.1 видно, что деформация Δ пружины является переменной величиной и равна модулю координаты Y точки в системе отсчёта OYZ.

Модуль силы упругости пропорционален её деформации: