Теоретическая механика (стр. 57 )

Так как = 0, то получим

N3 = G3·cos(α).

Тогда имеем

F3 = f3·N3 = f3·G3·cos(α) = f3·2·G·cos(α).

Таким образом, сила трения F3 определена.

Вернёмся к рис. 6.27. Зададим возможное перемещение δSС1 центру масс При этом тело 2 получит возможное угловое перемещение δφ2 = δSС1/R2, а центр С3 масс тела 3 получит возможное линейное перемещение, модуль которого δSС3 = δSС1·(r2/R2). Двойным дифференцированием по времени возможных перемещений δφ2, δSС3 определим угловое ускорение  тела 2 и модуль aС3 ускорения центра масс тела 3.

 = aС1/R2; aС3 = aС1·(r2/R2).

К рассматриваемой механической системе приложим активные силы G1, G2, G3, F3, F4-2 и инерционные нагрузки Ф1, Ф2, .

Модули сил инерции Ф1, Ф3 и момента  сил инерции определяют по формулам:

Ф1 = m1·aС1 = (G1/g)·aС1 = (8·G/g)·aС1;

Ф3 = m1 ·aС3 = (G3/g)·aС3 = (2·G/g)·aС1·(r2/R2);

= JС2Х2· = m2·(iС2Х2)2· = (G2/g)·(iС2Х2)2· =

= (4·G/g)·(iС2Х2)2·(aС1/R2).

Запишем общее уравнение динамики для рассматриваемой механической системы:

Σ·δSСi·cos(, δSСi) + ΣФi·δSСi·cos(Фi, δSСi) = 0.

Определим первое слагаемое правой части этого уравнения.

Σ·δSСi·cos(, δSСi) =

= G1·δSС1 – F4-2·δSС1 – G3·δSС3·sin(α) – F3·δSС3 =

= 8·G·δSС1 – f4·G·((b + d)/b)·δSС1 – 2·G·δSС1·(r2/R2)·sin(α) –

– f3·2·G·cos(α)·δSС1·(r2/R2) =

= G·(8 – f4·((b + d)/b) – 2·(r2/R2)·sin(α) – f3·2·G·cos(α)·(r2/R2))·δSС1.

Определим второе слагаемое правой части общего уравнения динамики:

ΣФi·δSСi·cos(Фi, δSCi) = – Ф1·δSС1 – ·δφ2 – Ф3·δSС3 =

= – (8·G/g)·aС1·δSС1 – (4·G/g)·(iС2Х2)2·(aС1/R2)·(δSС1/R2) –

– (2·G/g)·aС1·(r2/R2)·δSС1·(r2/R2) =

= – (G/g)·(8 + 4·(iС2Х2/R2)2 + 2·(r2/R2)2)·aС1·δSС1.

Внося эти слагаемые в общее уравнение динамики, получим

G·(8 – f4·((b + d)/b) – 2·(r2/R2)·sin(α) – f3·2·G·cos(α)·(r2/R2))·δSС1 –

– (G/g)·(8 + 4·(iС2Х2/R2)2 + 2·(r2/R2)2)·aС1·δSС1 = 0.

Отсюда определим модуль aС1 ускорения центра масс груза 1:

aC1 = g·(8 – f4·((b + d)/b) – 2·(r2/R2)·sin(α) – f3·2·cos(α)·(r2/R2))/

/(8 + 4·(iС2Х2/R2)2 + 2·(r2/R2)2) =

= 9,81·(8 – 0,1·((0,5 + 0,4)/0,5) – 2·(0,2/0,5)·0,5 –

– 0,1·2·0,866·(0,2/0,5))/

/(8 + 4·(0,1/0,5)2 + 2·(0,2/0,5)2) = 9,584 м/с2.

Таким образом, ответ на вопрос (aС1 =?), поставленный в курсовом задании Д 8, получен.

 

 

Вопросы и задания для самоконтроля

 

1.   Записать формулу, выражающую общее уравнение динамики, в векторной форме.

2.   Записать формулу, выражающую общее уравнение динамики, в скалярной форме.

3.   Записать формулу, выражающую общее уравнение динамики, в координатной форме.

 

6.5. Уравнения Лагранжа второго рода

 

Уравнения Лагранжа второго рода – дифференциальные уравнения движения механической системы в обобщённых координатах.

 

Для механической системы с n степенями свободы эти уравнения имеют вид

(∂TS/∂) – ∂TS/∂qCi = Qqci, i = 1, …, n,

где ТS – кинетическая энергия механической системы; qCi – обобщённая координата;  – обобщённая скорость; Qqci – обобщённая сила по обобщённой координате qCi.

Число уравнений Лагранжа второго рада равно числу степеней свободы рассматриваемой механической системы.

Используя рис 6.30, поясним понятия «обобщённая скорость», «обобщённая сила».

 

На рис. 6.30 приняты условные обозначения: – активная сила, приложенная к точке механической системы; δqCi – приращение обобщённой координаты qCi (возможное перемещение i-й точки системы);  – обобщённая скорость i-й точки механической системы.

 

Обобщённая скорость – производная по времени от обобщённой координаты.

 

 = dqCi/dt.

Определим возможную элементарную работу δАS() активных сил , приложенных к точкам механической системы при задании какой-либо её точке возможного перемещения δqCi.

δАS() = Σ·δqCi·cos(, δqCi).

 

Обобщенная сила Qqci по обобщенной координате qCi – величина, равная отношению возможной элементарной работы δАS активных сил , приложенных к точкам механической системы, к модулю δqСi приращения обобщённой координаты qCi.

 

Qqi = δAS()/δqCi.

Формулировка уравнения Лагранжа второго рода.

 

Разность полной производной по времени от частной производной кинетической энергии по обобщенной скорости и частной производной от кинетической энергии по обобщенной координате равна обобщенной силе.

 

Уравнения Лагранжа второго рода используют в качестве универсального метода составления дифференциальных уравнений движения механических систем любой степени сложности. Преимущество этого метода по сравнению с применяемыми ранее общими теоремами динамики заключается в том, что в уравнениях Лагранжа второго рода используются только активные силы. Это намного упрощает решение задач динамики механических систем.

Согласно учебной программе выполнение курсового задания на применение уравнений Лагранжа второго рода к исследованию движения механических систем не предусмотрено. Тем не менее для развития общего кругозора студента приведём пример решения такого типа задач.

 

Пример.

Однородный барабан 1 массой m1 и радиусом R1 приводится во вращение активным моментом М. На барабан наматывается невесомый трос, перекинутый через невесомый блок 2. К свободному концу троса прикреплён груз 3 массой m3 (рис. 6.31).

Механическая система начинает двигаться из состояния покоя. Составить дифференциальное уравнение вращательного движения барабана.

Дано: m1 = 20 кг; R1 = 0,2 м; m3 = 10 кг; М = 200 Н·м.

Решение.

Механическая система имеет одну степень свободы. Примем за обобщённую координату q угол φ1 поворота рис. 6.32).

Запишем уравнение Лагранжа второго рода для рассматриваемой механической системы.

(∂TS/∂) – ∂TS/∂φ1 = Qφ1,

где ТS – кинетическая энергия механической системы; Qφ1 – обобщённая сила по обобщённой координате φ1;  – обобщённая скорость.

Зададим приращение δφ1 обобщённой координате φ1. Тогда центр масс тела 3 получит возможное перемещение