Теоретическая механика (стр. 58 )

δSС3 = δφ1·R1.

Кинетическая энергия механической системы равна

ТS = Т1 + Т3,

где Т1 – кинетическая энергия барабана 1; Т3 – кинетическая энергия груза 3.

Тело 1 совершает вращательное движение относительно оси С1Х1. Его кинетическую энергию определим по формуле

T1 = 0,5·JC1X1·()2 = 0,5·(m1·(R1)2/2)·()2 = 0,25·m1·(R1)2·()2.

Согласно рис. 6.32 тело 3 совершает поступательное движение. Исходя из этого утверждения, его кинетическую энергию определим по формуле

T3 = 0,5·m3·(VC3)2 = 0,5·m3·(·R1)2.

В последней формуле символом VC3 обозначена скорость центра масс тела 3.

Кинетическая энергия механической системы

ТS = 0,25·m1·(R1)2·()2 + 0,5·m3·(·R1)2 =

= (0,25·m1 + 0,5·m3)·(·R1)2.

Определим частную производную от кинетической энергии механической системы по обобщённой скорости .

∂TS/∂ = 2·(0,25·m1+ 0,5·m3)·(R1)2·.

Тогда

(∂TS/∂) = (0,5·m1+ m3)·(R1)2·.

Так как кинетическая энергия системы не зависит от обобщённой координаты φ1, то соответственно её частная производная ∂TS/∂φ1 равна нулю (∂TS/∂φ1 = 0).

Тогда левая часть уравнения Лагранжа вторго рода равна

(∂TS/∂) – ∂TS/∂φ1 = (0,5·m1+ m3)·(R1)2·.

Определим элементарную работу δАS() сил, приложенных к механической системе на её возможном перемещении.

δАS() = M·δφ1 – G3·δSC3 = M·δφ1 – m3·g·δφ1·R1 =

= (M – m3·g·R1)·δφ1.

Согласно определению обобщённая сила Qφ1 по обобщённой координате φ1 равна

Qφ1 = δАS/ δφ1 = M – m3·g·R1.

Уравнение Лагранжа второго рода для рассматриваемой механической системы принимает вид

(0,5·m1+ m3)·(R1)2· = M – m3·g·R1.

Решая это уравнение относительно углового ускорения , получим

 =  =

=  = 17,344 м/с2.

Дважды интегрируя эти дифференциальные уравнения и определив постоянные интегрирования, получим:

 = 17,344·t; φ1 = 8,672·t2.

 

7. ЭЛЕМЕНТЫ ПРИБЛИЖЁННОЙ ТЕОРИИ ГИРОСКОПОВ

 

7.1. Гироскоп с тремя степенями свободы

 

Гироскопом называют симметричное твёрдое тело, угловая скорость  вращения которого относительно оси симметрии значительно превосходит по модулю угловую скорость  вращения оси симметрии.

II = ω1 >> II = ω2,

где ω1, ω2 – модули угловых скоростей , .

В современных гироскопических приборах частота n1 вращения относительно оси симметрии (оси гироскопа) достигает значений 40000 – 50000 об/мин (ω1 = 4200 – 5200 рад/с), а частота n2 вращения оси симметрии равна одному обороту за 2 – 3 минуты (n2 = 3, 14 – 4, 73 об/мин) и даже за 20 минут (n2 = 0,314 об/мин) для гирокомпасов.

Рассмотрим случай, когда гироскоп движется в инерциальной системе отсчёта O2X2Y2Z2 около неподвижной точки О2 (рис. 7.1).

На рис. 7.1 приняты условные обозначения: O2X2Y2Z2 – инерциальная система отсчёта (ИСО); O1X1Y1Z1 – подвижная система отсчёта (ПСО);  – вектор угловой скорости  вращения гироскопа относительно оси симметрии (ось симметрии гироскопа совпадает с осью O1Z1 подвижной системы отсчёта);  – вектор угловой скорости  вращения оси O1Z1 симметрии гироскопа относительно оси O2Z2 инерциальной системы отсчёта O2X2Y2Z2; θ – угол наклона оси O1Z1 симметрии к оси O2Z2 инерциальной системы отсчёта (угол нутации); LO() – кинетический момент гироскопа относительно точки О при его вращении вокруг оси симметрии O1Z1 с угловой скоростью ; LO() – кинетический момент гироскопа относительно точки О при его вращении вокруг оси O2Z2 инерциальной системы отсчёта O2X2Y2Z2 с угловой скоростью ; LO – кинетический момент гироскопа относительно точки О при его вращении с угловой скоростью  вокруг мгновенной оси вращения OZ3;  – вектор угловой скорости  вращения гироскопа относительно мгновенной оси вращения OZ3.

Начала О1 подвижной системы отсчёта O1X1Y1Z1 и О2 инерциальной системы отсчёта O2X2Y2Z2 помещены в точку О.

Гироскоп вращается с угловой скоростью  относительно оси O1Z1 симметрии, которая в свою очередь вращается с угловой скоростью  относительно оси O2Z2 инерциальной системы отсчёта O2X2Y2Z2.

Вектор  абсолютной угловой скорости гироскопа определяют по формуле  =  + . При этом вектор  лежит на мгновенной оси OZ3 вращения гироскопа.

Кинетический момент LO гироскопа относительно точки О равен

LO = LO() + LO().

В развёрнутом виде последняя формула выглядит следующим образом:

LO = JO1Z1·() + JO2Z2·(),

где JO1Z1, JO2Z2 – моменты инерции гироскопа относительно осей O1Z1, O2Z2.

Так как II << II, то величина угла θ очень мала (в современных приборах она составляет доли секунды). Тогда с достаточной для инженерной практики точностью можно считать, что

LO() = JO2Z2·() = 0.

С учётом этого допущения имеем

LO = JO1Z1·().

Из последнего выражения следует, что вектор LO кинетического момента гироскопа относительно точки О совпадает с осью симметрии гироскопа. Исходя из этого утверждения, рис. 7.1 можно преобразовать к следующему виду (рис. 7.2).