Теоретическая механика (стр. 48 )

Координаты любой точки механической системы являются функциями обобщённых координат (рис. 6.1).

Положение всех точек кривошипно-ползунного механизма вполне определяется заданием только угла поворота φ кривошипа. Этот угол и примем за обобщённую координату механизма. Таким образом, рассматриваемый механизм имеет одну степень свободы. Покажем, что координата точки В ползуна зависит от обобщённой координаты.

ХB = OK + КB = r·cos(φ) + .

Нетрудно показать, что и координаты других точек (А, С) также зависят от обобщённой координаты φ:

ХA = f2(φ); ХС = f3(φ).

Возможное (виртуальное) перемещение точки – любое допускаемое наложенными связями перемещение материальной точки из положения, занимаемого ею в данный момент времени, в бесконечно близкое положение, которое она может занимать в тот же момент времени.

 

Другими словами, возможные (или виртуальные) перемещения механической системы – воображаемые бесконечно малые перемещения, допускаемые в данный момент времени наложенными на систему связями.

Для иллюстрации этого понятия рассмотрим рычаг АВ, который может совершать вращательное движение (рис. 6.2).

Рычаг АВ рассматривается как механическая система, на которую наложена связь – шарнирно-неподвижная опора. В качестве обобщённой координаты используем угол φ поворота тела. Зададим углу φ бесконечно малое перемещение δφ, которое называют возможным угловым перемещением или приращением угловой координаты φ. При повороте рычага на угол δφ точки А и В переместятся по дугам ААI, ВВI.

 

Возможные перемещения точек А и В рассматривают как величины первого порядка малости, поэтому криволинейные перемещения точек замещают направленными прямолинейными отрезками (векторами δSA, δSB), отложенными по касательным к траекториям точек. Модули возможных перемещений δSA, δSB точек А и В определяют по формулам:

δSA = АО·δφ; δSВ = ВО·δφ.

Размерность возможных перемещений определяется размерностью обобщённой координаты: δφ [рад]; δSA, δSВ [м]. Направления возможных перемещений точек механической системы совпадает с направлениями скоростей VA, VB этих точек.

В данном учебно-методическом пособии рассматриваются неизменяемые механические системы с одной степенью свободы. Материальные тела, входящие в такие механические системы, совершают следующие виды движений: поступательное, вращательное, плоскопараллельное. Рассмотрим подробнее эти движения.

 

 

Поступательное движение (рис. 6.3).

 

При поступательном движении возможные перемещения всех точек тела геометрически равны:

δSA = δSB = δSС.

Так как тело при поступательном движении не поворачивается, то его возможное угловое перемещение равно нулю (δφ =0).

 

Возможные перемещения δSA, δSA, δSС точек А, В, С можно связать с их скоростями VA, VB, VC следующими соотношениями:

δSA = VA·δt; δSB= VB·δt; δSC= VC·δt,

где δt – бесконечно малый промежуток времени.

 

Вращательное движение (рис. 6.4).

 

За обобщённую координату в таком движении принимают угол поворота φ, а за возможное перемещение δφ – приращение угла поворота. Модули возможных перемещений δSA, δSA, δSС точек А, В, С определяют по формулам:

δSA = АО·δφ; δSВ= ВО·δφ; δSС= СО·δφ.

Следует отметить, что при вращательном движении твёрдого тела возможные перемещения точек тела геометрически различны:

δSA ≠ δSA ≠ δSС.

 

Плоскопараллельное движение (рис. 6.5).

Согласно определению при плоскопараллельном движении тело имеет три степени свободы и, следовательно, этому соответствует три обобщённые координаты ХС, YC, φ, где XC, YC – координаты центра масс; φ – угол поворота тела относительно оси CZ1, проходящей через его центр масс.

Из курса кинематики известно, что плоскопараллельное движение твёрдого тела можно представить как вращательное движение относительно оси, проходящей через мгновенный центр скоростей (МЦС). В этом случае в качестве обобщённой координаты используют только угол поворота φ.

Как правило, в инженерной практике возможные перемещения точек механической системы определяют с помощью мгновенного центра вращения (мгновенного центра поворота), положение которого всегда совпадает с положением мгновенного центра скоростей.

 

Мгновенный центр вращения – точка неподвижной плоскости, поворотом вокруг которой плоская фигура перемещается из данного положения в положение, бесконечно близкое к данному.

 

Рассмотрим частные случаи определения возможных перемещений точек тела при его плоскопараллельном движении.

Случай 1 (рис. 6.6).

Положение мгновенного центра вращения (точка Р) определяют так же, как и положение МЦС. Так как методика определения положения МЦС подробно рассмотрена в курсе кинематики, то здесь она не приводится. Модули возможных перемещений δSA, δSA, δSС точек А, В, С определяют по формулам:

δSA = АР·δφ;

δSВ = ВР·δφ;

δSС = СР·δφ,

где АР, ВР, СР – соответственно расстояния от точек А, В, С до мгновенного центра вращения.

Необходимо еще раз напомнить, что возможные перемещения δSA, δSA, δSС точек А, В, С связаны с их скоростями VA, VB, VC следующими соотношениями:

δSA = VA·δt;

δSB= VB·δt;

δSC= VC·δt.

Таким образом, направления возможных перемещений точек и их скоростей совпадают.

 

Случаи 2, 3, 4 (рис. 6.7).

 

Формулы для определения модулей возможных перемещений точек А, В, С в случаях 2, 3, 4 остаются такими же, как и формулы для случая 1 (см. рис. 6.6).

 

 

Рассмотрим частный случай плоскопараллельного движения – мгновенно поступательное движение (рис. 6.8).

Из курса кинематики известно, что при мгновенно поступательном движении скорости всех точек тела геометрически равны:

VA = VB = VC.

Так как δSA = VA·δt; δSB = VB·δt; δSC = VC·δt, то отсюда следует, что равны и возможные перемещения этих точек:

δSA = δSB = δSC.

 

В инженерной практике возможные перемещения точек твёрдого тела при его плоскопараллельном движении связывают между собой через их проекции на прямую, соединяющую эти точки (рис. 6.9).

Возможные перемещения δSA, δSB точек А и В тела при его плоскопараллельном движении связаны соотношением

δSA·cos(α) = δSB·cos(β).

При решении задач аналитической механики все возможные перемещения точек механической системы выражают через приращение обобщённой координаты рассматриваемого механизма (рис. 6.10).

Согласно рис. 6.10 механическая система (кривошипно-ползунный механизм) состоит из трёх звеньев: 1 – кривошип; 2 – шатун; 3 – ползун. Механизм имеет одну степень свободы. В качестве обобщённой координаты используем угол φ1 поворота В заданном положении механизма обобщённой координате φ1 зададим приращение δφ1. Таким образом, δφ1 – возможное угловое перемещение звена 1, которое совершает вращательное движение. Исходя из этого, определим модуль возможного перемещения δSA.

δSA = AO·δφ1.

 

Кинематический анализ работы механизма показывает, что звено 2 совершает плоскопараллельное движение, а звено 3 совершает поступательное движение вдоль координатной оси ОХ. Из условия принадлежности точки В звену 3 возможное перемещение δSВ направлено вдоль координатной оси ОХ. Спроецировав возможные перемещения точек А и В на прямую, соединяющую эти точки, получим