Теоретическая механика (стр. 41 )

Σ+ Σ+ ФОХ = 0;

Σ+ Σ+ ФOY = 0;

Σ+ Σ+ ФOZ = 0.

 

Сумма проекций активных сил, реакций внешних связей и силы инерции на координатные оси инерциальной системы отсчёта равна нулю.

 

Последние уравнения зачастую называют уравнениями динамического равновесия материальной точки, в отличие от уравнений (Σ+ Σ= 0; Σ+ Σ = 0; Σ+ Σ = 0) статического равновесия.

В действительности сила инерции материальной точки приложена не к ней, а к телу, взаимодействующему с рассматриваемой точкой. Приложение силы инерции к точке является лишь условным приёмом, сводящим задачу динамики по форме решения к задаче статики.

Благодаря простоте, принцип Даламбера получил широкое применение во многих инженерных дисциплинах. В ряде случаев он обеспечивает наиболее простое и удобное решение задач динамики.

 

5.6.2. Принцип Даламбера для несвободной

механической системы

 

Рассмотрим движение материальной точки Ci несвободной неизменяемой механической системы под действием активной силы , реакции  внешней связи и внутренней силы  в инерциальной системе отсчёта OXYZ со скоростью VCi и ускорением aCi (рис. 5.35).

 

Применим принцип Даламбера для каждой точки Ci неизменяемой механической системы.

+  +  + Фi = 0,

где Φi = – m·aCi – сила инерции материальной точки Ci механической системы.

Просуммируем составленные уравнения и получим выражение

Σ+ Σ + Σ+ ΣФi = 0.

Поскольку механическая система неизменяемая, то геометрическая сумма реакций  внутренних связей равна нулю (Σ= 0). Тогда получим

Σ+ Σ + ΣФi = 0.

 

В любой момент времени для неизменяемой механической системы геометрическая сумма активных сил, реакций внешних связей и сил инерции равна нулю.

 

Это и есть принцип Даламбера для неизменяемой механической системы.

Этот принцип зачастую записывают в следующем виде:

F* + R* + Φ* = 0,

где F* = Σ – главный вектор активных сил; R* = Σ – главный вектор реакций внешних связей; Φ* = ΣФi – главный вектор сил инерции.

 

В любой момент времени для неизменяемой механической системы геометрическая сумма главных векторов активных сил, реакций внешних связей и сил инерции равна нулю.

 

Как правило, векторное равенство F* + R* + Φ* = 0, выражающее принцип Даламбера, применяют при рассмотрении поступательного движения твёрдого тела.

Используя метод Пуансо для каждой материальной точки механической системы, приведём произвольно направленные в пространстве активные силы , реакции  внешних связей и силы инерции Фi к центру масс механической системы (рис. 5.36).

 

Необходимо отметить, что метод Пуансо справедлив для любой произвольной точки, но, как правило, в инженерной практике за такую точку принимают центр масс твёрдого тела или механической системы.

Согласно методу Пуансо система активных сил , реакций внешних связей и сил инерции Фi эквивалентна системе сил (F*, R*, Φ*) и системе присоединённых пар сил с векторными моментами , , (Фi), где  = Σ – главный момент активных сил относительно центра масс;  = Σ – главный момент реакций внешних связей относительно центра масс; (Фi) = Σ(Фi) – главный момент сил инерции относительно центра масс.

С использованием условных обозначений: F*, R*, Φ*, , , (Фi) принцип Даламбера преобразуется в совокупность двух векторных выражений:

F* + R*+ Φ*= 0;

 +  + (Фi) = 0.

 

В любой момент времени для движущейся неизменяемой механической системы геометрические суммы главных векторов и главных моментов активных сил, реакций внешних связей и сил инерции относительно произвольного центра (как правило, относительно центра масс) равны нулю.

 

Спроецируем последние векторные равенства на координатные оси системы отсчёта OXYZ и получим шесть уравнений, выражающих принцип Даламбера в скалярной форме:

+ +  = 0;

+ +  = 0;

+ +  = 0;

 = 0;

 = 0;

 = 0,

где , ,  – проекции главного вектора активных сил на координатные оси; , ,  – проекции главного вектора реакций внешних связей на координатные оси; , ,  – проекции главного вектора сил инерции на координатные оси; , ,  – проекции главного момента активных сил на координатные оси; , ,  – проекции главного момента реакций внешних связей на координатные оси; , ,  – проекции главного момента сил инерции на координатные оси.