Теоретическая механика (стр. 59 )

 

На таком допущении основана приближённая (элементарная) теория гироскопов.

При решении задач с помощью приближённой теории гироскопов удобно пользоваться теоремой Резаля, которая выражается формулой

dLO/dt = U = Σ MO(FiE) + Σ MO(RiE) = ,

где LO – кинетический момент гироскопа относительно точки О; U – скорость конца вектора LO в инерциальной системе отсчёта; Σ MO(FiE), Σ MO(RiE) – геометрические суммы моментов активных сил FiE и реакций RiE внешней связи относительно точки О;  – главный момент внешних сил, приложенных к гироскопу, относительно точки О.

 

Скорость U конца вектора LO кинетического момента гироскопа относительно точки О направлена так же , как и вектор  главного момента внешних сил , приложенных к гироскопу, относительно той же точки.

 

Использование теоремы Резаля позволяет решать следующие задачи: 1) по известным активным силам FiE и реакциям RiE внешней связи определяют направление движения оси симметрии гироскопа; 2) по известному закону движения оси гироскопа определяют главный момент внешних сил .

 

Пример 1.

Гироскоп совершает быстрое вращение относительно вертикальной оси OZ симметрии, имея неподвижную точку О (рис. 7.3).

 

Определить направление движения оси симметрии гироскопа, если к ней приложена активная сила FiE, которая параллельна плоскости OYZ.

 

Решение.

Приложим к гироскопу активную силу FiE, силу тяжести G и реакции XO, YO, ZO внешней связи в точке О (рис. 7.4).

 

Определим главный момент  внешних сил относительно точки О.

 = Σ MO(FiE) + Σ MO(G) + Σ MO(XO) + Σ MO(YO) + Σ MO(ZO).

Так как Σ MO(G) = 0, Σ MO(XO) = 0; Σ MO(YO) = 0, Σ MO(ZO) = 0, то имеем

 = Σ MO(FiE).

Главный момент  внешних сил относительно точки О приложен в этой точке и направлен по оси ОХ в сторону увеличения координаты Х (напомним, что момент силы относительно точки направляется перпендикулярно плоскости, проходящей через силу и точку так, что с его конца видно, что сила стремится повернуть тело вокруг точки против хода часовой стрелки).

Кинетический момент LO = JOZ· гироскопа относительно точки О направлен в сторону вектора  угловой скорости вращения. Конец вектора LO обозначим точкой D.

Применив теорему Резаля U = , направляем вектор U скорости точки D параллельно вектору .

Таким образом, ось OZ симметрии гироскопа будет перемещаться в плоскости OXZ, которая перпендикулярна направлению активной силы FiE.

Пример 2.

Определить движение тяжёлого гироскопа, ось которого составляет угол θ с вертикалью, если:  – угловая скорость вращения относительно оси O1Z1 симметрии; JO1Z1 – момент инерции гироскопа относительно оси симметрии; b = OC – расстояние от центра тяжести С до точки О опоры (рис. 7.5).

Рассмотрим движение гироскопа в инерциальной системе отсчёта OXYZ (рис. 7.6).

Приложим к гироскопу активную силу G (силу тяжести) и реакции XO, YO, ZO внешней связи в точке О. Модуль  главного момента  внешних сил, приложенных к гироскопу, равен

 = G·OC·sin(θ).

Вектор  главного момента внешних сил направлен по оси OY в сторону увеличения координаты Y.

Кинетический момент LO гироскопа относительно точки О направлен по оси симметрии в сторону вектора  угловой скорости и равен по модулю

LO = JO1Z1·ω,

где ω = II – модуль вектора угловой скорости .

 

Обозначим точкой D конец вектора LO. Согласно теореме Резаля, U = . Поэтому U – скорость точки D направлена перпендикулярно к оси симметрии (параллельна оси ОХ) в сторону увеличения координаты Х. Модуль U скорости U равен

U =  = G·OC·sin(θ) = const.

Таким образом, точка D имеет постоянную по модулю скорость U, направленную перпендикулярно к вертикальной плоскости, содержащей ось симметрии гироскопа. При этом ось гироскопа описывает боковую поверхность кругового конуса, поворачиваясь относительно вертикальной оси OZ с угловой скоростью . Это движение называют регулярной прецессией оси гироскопа.

Вычислим модуль ω1 угловой скорости  регулярной прецессии.

ω1 = II = U/(DA) =  =  = .

Окончательно имеем

ω1 = .

Чем меньше модуль ω угловой скорости  вращения гироскопа относительно его оси симметрии, тем больше модуль ω1 угловой скорости  прецессии (от величины угла θ угловая скорость прецессии не зависит).

Задачи на определение движения оси гироскопа с помощью приближённой теории рекомендуется решать по следующему алгоритму.

1.   Проверить, имеет ли гироскоп три степени свободы.

2.   Выбрать систему координат.

3.   Изобразить на рисунке внешние силы, приложенные к гироскопу.

4.   Определить главный момент  внешних сил относительно неподвижной точки О.

5.   Найти кинетический момент LO гироскопа относительно неподвижной точки О.

6.   Применив теорему Резаля U = , определить движения оси гироскопа.

В экзаменационных задачах, как правило, требуется определить ω, JO1Z1, ОС. Эти величины определяют по формулам:

ω1 = ;

JO1Z1 = ;

ОС = .

 

Пример 3.

 

На рис. 7.7 приведена схема гироскопа в кардановом подвесе. Конструктивная схема содержит корпус 1, уравновешенный массивный круглый цилиндр, горизонтальную 3 и вертикальную рамки.

 

Тело 2 вращается с угловой скоростью  в подшипниках горизонтальной рамки 3 относительно оси ОХ. Рамка 3 может поворачиваться в подшипниках рамки 4 относительно оси OY. В свою очередь рамка 4 может поворачиваться в подшипниках корпуса 1 гироскопа относительно оси OZ. Координатные оси OX, OY, OZ пересекаются в центре масс механической системы, состоящей из тел 2, 3, 4.