Теоретическая механика (стр. 62 )

UС = k·VC.

 

Рассмотрим косой удар шара о неподвижную горизонтальную плоскость (рис. 8.7).

 

Шар ударяется о неподвижную плоскость со скоростью VC, которая направлена к этой плоскости под углом α. После удара шар отскакивает от неподвижной плоскости со скоростью UС, под углом β к плоскости. Коэффициент восстановления при ударе определяют по формуле

k = .

Последняя формула указывает удобный способ экспериментального определения коэффициента восстановления k при упругом ударе. По этому способу замеряют угол α и угол β отражения.

В случае абсолютно упругого удара угол падения α равен углу отражения β, откуда k = 1.

 

Задачи на определение коэффициента восстановления при ударе решают по следующему алгоритму.

1.   Направить на рисунке главную нормаль (ось On) вдоль линии центров, а касательную (ось Оt) – перпендикулярно к ней.

2.   Вычислить проекции скоростей VC1On, VC2On центров масс С1, С2 соударяющихся тел в начале удара на главную нормаль.

3.   Вычислить проекции скоростей UC1On, UC2On центров масс С1, С2 соударяющихся тел в конце удара на главную нормаль.

4.   Определить коэффициент восстановления при ударе по формуле k = .

 

8.3. Потеря кинетической энергии при ударе двух тел

 

Из–за остаточных деформаций и нагревания тел при ударе происходит частичная потеря кинетической энергии соударяющихся тел. Определим потерю кинетической энергии при упругом ударе двух поступательно движущихся тел, имеющих коэффициент восстановления k.

Введём условные обозначения: Т1 – кинетическая энергия механической системы до удара; Т2 – кинетическая энергия механической системы после удара; ΔТ – потеря кинетической энергии механической системы в процессе удара.

Величины Т1, Т2, ΔТ определяют по формулам:

T1 = 0,5·(m1·(VC1)2 + m2·(VC2)2);

T1 = 0,5·(m1·(UC1)2 + m2·(UC2)2);

ΔT = T1 – T2,

где m1, m2 – массы соударяющихся тел; VC1, VC2 – модули абсолютных скоростей центров масс тел до удара; UC1, UC2 – модули абсолютных скоростей центров масс тел после удара.

Потерю кинетической энергии при прямом центральном упругом ударе определяют по формуле

ΔT = (1 – k2)··(VC1On – VC2On)2,

где VC1On, VC2On – проекции абсолютных скоростей центров масс тел 1, 2 на главную нормаль.

При абсолютно неупругом ударе k = 0 и, следовательно,

ΔT = ·(VC1On – VC2On)2.

При абсолютно упругом ударе k = 1 и, следовательно, ΔT = 0.

Решение задач на вычисление потери кинетической энергии при ударе двух тел следует выполнять по приведённым выше формулам.

 

8.4. Действие ударных сил на твёрдое тело

при его вращении относительно неподвижной оси

 

Рассмотрим процесс удара при вращении твёрдого тела на примере плоской пластины под действием активных сил FiE и реакций RiE внешних связей в инерциальной системе отсчёта OXYZ (рис. 8.8).

Твёрдое тело до удара вращается относительно оси ОХ с угловой скоростью . В момент удара о неподвижную поверхность (см. рис. 8.8,а) твёрдое тело имело угловую скорость , а после удара его угловая скорость изменилась до значения  (см. рис. 8.8,в).

Напомним, что по теории удара силы FiE, RiE являются немгновенными силами, следовательно, их действие на твёрдое тело не учитывается.

В момент удара на тело действуют ударные силы РiE, ударный импульс которых обозначим символом S(PiE) (см. рис. 8.8,б). Ударные силы РiE относятся к разряду внешних сил.

Определим изменение угловой скорости тела в момент удара. Для этого воспользуемся выражением

LOX(2) – LOX(1) = ΣMOX(S(PiE)),

где LOX(1), LOX(2) – кинетические моменты тела относительно оси ОХ вращения до и после удара; ΣMOX(S(PiE)) – сумма моментов ударных импульсов относительно оси вращения тела.

Последняя формула выражает теорему об изменении кинетического момента механической системы при ударе.

 

Изменение кинетического момента механической системы относительно оси вращения при ударе равно сумме моментов внешних ударных импульсов, приложенных к точкам системы, относительно той же оси.

 

Кинетический момент твёрдого тела относительно оси вращения равен произведению момента инерции тела относительно этой оси на модуль угловой скорости. Исходя из этого, имеем:

LOX(1) = JOX·II; LOX(1) = JOX·II.

Тогда теорему об изменении кинетического момента механической системы относительно оси вращения при ударе можно представить в следующем виде:

JOX·II – JOX·II = ΣMOX(S(PiE)).

Отсюда

Δφ = II – II = .

Таким образом, изменение угловой скорости твёрдого тела, вращающегося относительно неподвижной оси, под действием внешних ударных сил равно сумме моментов импульсов этих сил относительно оси вращения, разделённой относительно той же оси.

Итак, действие ударного импульса на тело, вращающегося относительно неподвижной оси, проявляется в скачкообразном изменении его угловой скорости.

Этой теоремой следует пользоваться в задачах на удар по телу, вращающемуся относительно неподвижной оси, когда в число данных и искомых величин входят: ударные импульсы; момент инерции тела относительно оси вращения; угловые скорости в начале и конце удара.

 

Задачи с помощью теоремы об изменении кинетического момента механической системы при ударе решают по следующему алгоритму.

1.    Изобразить на рисунке внешние ударные импульсы.

2.    Вычислить сумму моментов ударных импульсов относительно оси вращения.

3.    Подставив результат вычислений, полученный в предыдущем пункте, в уравнение Δφ = II – II = , определить искомую величину.

 

Приложение

 

 

СЛОВАРЬ

ТЕРМИНОВ, ОПРЕДЕЛЕНИЙ, ПОНЯТИЙ

 

Механика – наука о механическом движении и механическом взаимодействии материальных тел.

 

Теоретическая механика – раздел механики, в котором изучаются законы движения механических систем и общие свойства этих движений.

 

Статика – раздел механики, в котором изучаются условия равновесия механических систем под действием сил.

 

Кинематика – раздел теоретической механики, в котором изучаются движения материальных тел без учёта их масс и действующих на них сил.

 

Динамика – раздел механики, в котором изучаются движения механических систем под действием сил.

 

Масса – одна из основных характеристик любого материального объекта, определяющая его инертные и гравитационные свойства.

 

Инертность – свойство материального тела, проявляющееся в сохранении движения, совершаемого им при отсутствии действующих сил, и в постепенном изменении этого движения с течением времени, когда на тело начинают действовать силы.

 

Материальная точка – точка, имеющая массу.

 

Абсолютно твёрдое тело – материальное тело, в котором расстояние между двумя любыми точками остается неизменным.

 

Механическая система – любая совокупность материальных точек, движения которых взаимозависимы.

 

Механическое действие – действие на данное тело со стороны других тел, которое приводит к изменению скоростей точек этого тела или следствием которого является изменение взаимного положения точек данного тела.

 

Механическое движение – изменение с течением времени взаимного положения в пространстве материальных тел или взаимного положения частей данного тела.

 

Свободное твёрдое тело – тело, на перемещения которого не наложено никаких ограничений.

 

Система отсчёта – система координат, связанная с телом, по отношению к которому определяется положение других тел (механических систем) в разные моменты времени.