Теоретическая механика (стр. 34 )

 

Примером сферического движения тела служит движение волчка, имеющего неподвижную точку О1 (рис. 5.19).

Для определения положения тела в каждый момент времени используют две системы отсчёта: неподвижную систему отсчёта O1X1Y1Z1 и подвижную систему отсчёта OXYZ, которая жёстко закреплена на теле. При этом начало отсчёта ПСО совпадает с началом отсчёта НСО.

На рис. 5.19 стрелками показаны положительные направления отсчёта углов Ψ, θ и φ. Рассмотрим подробнее порядок отсчёта этих углов. Плоскость OXY подвижной системы отсчёта OXYZ пересекается с плоскостью O1X1Y1 неподвижной системы отсчёта O1X1Y1Z1 по линии O1L. Эту линию называют осью узлов. Введём единичный вектор р, направленный от точки О1 к точке L оси узлов. Единичные векторы i1, p лежат в горизонтальной плоскости O1X1Y1 и образуют угол Ψ, величина которого зависит от времени. Ψ = f1(t). Положительное направление отсчёта угла Ψ определяют по правилу: смотря навстречу вектору k1, поворот вектора i1 к вектору р должны увидеть происходящим против хода часовой стрелки.

Единичные векторы k1, k образуют плоскость, в которой находится угол θ, который также зависит от времени: θ = f2(t). Положительное направление отсчёта угла θ определяют по правилу: смотря навстречу вектору i, поворот вектора k1 к вектору k должны увидеть происходящим против хода часовой стрелки.

Единичные векторы р, i образуют плоскость, в которой лежит угол φ, величина которого зависти от времени: φ = f3(t). Правило положительного направления отсчёта угла φ: смотря навстречу вектору j, поворот вектора р к вектору i должны увидеть происходящим против хода часовой стрелки.

Углы Ψ, θ, φ называют также эйлеровыми углами:

угол Ψ – угол прецессии;

угол θ – угол нутации;

угол φ – угол собственного вращения.

 

Так как положение тела, имеющего одну неподвижную точку, определяется тремя эйлеровыми углами, т. е. тремя параметрами, то оно имеет три степени свободы.

Таким образом, сферическое движение тела описывается тремя уравнениями движения:

Ψ = f1(t); θ = f2(t); φ = f3(t).

На твёрдое тело, совершающее сферическое движение, действуют активные силы , реакция опоры  и внутренние силы . Следует отметить, что активные силы  и реакцию опоры  относятся к разряду внешних сил. При этом моменты реакции  относительно координатных осей ОХ, OY, OZ системы отсчета OXYZ равны нулю.

Для абсолютно твёрдого тела геометрическая сумма реакций внутренних связей всегда равна нулю (= 0). Исходя из этого утверждения, дифференциальные уравнения сферического движения твёрдого тела имеют вид:

JОX·(·sin(θ)·sin(φ) + ·cos(φ)) +

+ (·sin(θ)·cos(φ) – ·sin(φ))·(·cos(θ) + )·(JОZ – JОY) =

= Σ MОX(); (1)

JОY·(·sin(θ)·cos(φ) – ·sin(φ)) +

+ (·cos(θ) + )·(·sin(θ)·sin(φ) + ·cos(φ)) (JОX – JОZ) =

= Σ MОY(); (2)

JОZ·(·cos(θ) + ) +

+ (·sin(θ)·sin(φ) + ·cos(φ))·(·sin(θ)·cos(φ) – ·sin(φ))×

× (JОY – JОX) = Σ MОZ(), (3)

где JОX, JОY, JОZ – моменты инерции тела относительно соответствующих координатных осей OX, OY, OZ системы отсчёта OXYZ;  – угловая скорость прецессии;  – угловая скорость нутации;  – угловая скорость собственного вращения; Σ MOX(), Σ MOY(),Σ MOZ() – суммы моментов активных сил относительно координатных осей OX, OY, OZ системы отсчёта OXYZ.

Дифференциальные уравнения сферического движения твёрдого тела называют динамическими уравнениями Эйлера.

Целью решения дифференциальных уравнений сферического движения твёрдого тела является получение зависимостей:

Ψ = f1(t); θ = f2(t); φ = f3(t).

Интегрирование динамических уравнений Эйлера связано с большими трудностями, поэтому выполнение студентами курсовых заданий на эту тему не предусмотрено.

 

5.4.5. Динамика общего случая движения твёрдого тела

 

В теоретической механике движение свободного тела в пространстве рассматривают как сложное, состоящее из поступательного движения со скоростью некоторой точки тела, принятой за полюс, и сферического движения вокруг этого полюса. Как правило, за полюс принимают центр С масс твёрдого тела (рис. 5.20).

Примем центр С масс за полюс и поместим в него начала двух подвижных систем отсчёта СXYZ, O2X2Y2Z2. Координатные оси CX, CY, CZ направляют по главным центральным осям инерции тела. При этом система отсчёта OXYZ неподвижно закреплена на теле, а система отсчёта O2X2Y2Z2 совершает поступательное движение таким образом, что её координатные оси параллельны координатным осям неподвижной системы отсчёта O1X1Y1Z1.

Плоскости OXY, O2X2Y2 подвижных систем отсчёта пересекаются по линии OL. Введением единичного вектора р эту линию преобразуют в ось узлов.

На рис. 5.20 показаны углы Ψ, φ, θ, величины которых зависят от времени. Эти углы называют эйлеровыми углами.

Таким образом, свободное движение тела определяется шестью уравнениями движения свободного твёрдого тела.

X1С = f1(t); Y1С = f2(t); Z1С = f3(t);

Ψ = f4(t); φ = f5(t); θ = f6(t),

где X1С, Y1С, Z1С – координаты центра масс тела в неподвижной системе отсчёта O1X1Y1Z1.

 

 

Свободное движение твёрдого тела осуществляется под действием активных сил  и реакций  внутренних связей. Известно,, что для абсолютно твёрдого тела геометрическая сумма реакций внутренних связей равна нулю (= 0). Исходя из этого утверждения, дифференциальные уравнения поступательной части свободного движения твёрдого тела имеют вид:

m· = Σ; (1)

m· = Σ; (2)

m· = Σ, (3)