Теоретическая механика (стр. 18 )

Исходя из этого, имеем: ω3 = ωе = 0 = const; ε3 = εe = 0, где ω3 – модуль угловой скорости тела 3; ωе – модуль угловой скорости переносного вращения.

Поскольку кориолисова сила Фс = 0, то основное уравнение динамики относительного движения принимает вид

m·ar = ΣFiЕ + ΣRiЕ + Фе,

где Фе = – m·ae – переносная сила инерции.

Так как переносное движение является поступательным, то его ускорение ae равно ускорению точки А С другой стороны, точка А принадлежит кривошипу О1А, совершающему вращательное неравномерное движение (ω1 ≠ 0; ε1 ≠ 0). Тогда

ae = aА =  =  = ,

где ,  – соответственно центростремительное и вращательное ускорения точки А кривошипа О1А; ,  – нормальное и касательное ускорения точки А тела 3; ,  – соответственно нормальное и касательное переносные ускорения.

Отсюда вытекает очевидные равенства:

 = = (ω1)2·r; =  = ε1·r;

 = – m·;  = – m·,

где ,  – переносные нормальная и касательная силы инерции.

С учетом того, что Фе = +, имеем:

m·ar = ΣFiЕ + ΣRiЕ + +;

m· = Σ + Σ +  +;

m· = Σ + Σ + +;

m· = Σ + Σ +  +.

Случай 4.

Переносное движение – поступательное прямолинейное и равномерное. В этом случае имеем: ωе = 0; ae = 0 и, следовательно, Фс = 0, Фе = 0. Тогда основное уравнение динамики относительного движения принимает вид

m·ar = ΣFiЕ + ΣRiЕ.

Это уравнение не отличается от основного уравнения динамики материальной точки в инерциальной системе отсчёта, которое имеет вид

m·a = ΣFiЕ + ΣRiЕ.

 

3.3. Принцип относительности классической механики.

Инерциальные системы отсчёта

 

Сопоставление основного уравнения динамики относительного движения точки (m·ar = ΣFiЕ + ΣRiЕ) с основным уравнением динамики абсолютного движения (m·a = ΣFiЕ + ΣRiЕ) показывает, что при равномерном прямолинейном поступательном переносном движении относительное движение с динамической точки зрения не отличается от абсолютного движения.

Таким образом, относительное движение материальной точки по отношению к подвижной системе отсчёта, движущейся поступательно, прямолинейно и равномерно, происходит так же, как и по отношению к неподвижной системе отсчёта. Все такие подвижные системы являются инерциальными системами отсчёта, и, следовательно, движение материальной точки относительно любой из этих систем можно рассматривать как абсолютное движение. Это положение называют принципом относительности классической механики, которое формулируется следующим образом: никакие механические явления, происходящие в среде, не могут обнаружить её прямолинейного и равномерного поступательного движения.

 

3.4. Алгоритм решения задач на динамику

относительного движения материальной точки

 

Задачи динамики относительного движения материальной точки рекомендуется решать по следующему алгоритму.

1.   Разложить абсолютное движение материальной точки на относительное и переносное движения.

2.   Выбрать неподвижную инерциальную систему отсчёта O1X1Y1Z1.

3.   Выбрать подвижную неинерциальную систему отсчёта OXYZ, связав её с телом, по которому точка совершает относительное движение.

4.   Показать на рисунке траекторию относительного движения.

5.   Материальную точку изобразить на траектории относительного движения в произвольный момент времени, предположив, что точка имеет положительные координаты и движется в сторону увеличения этих координат ускоренно. Показать на рисунке относительную скорость Vr и относительное ускорение ar.

6.   Определить начальные условия относительного движения точки (Х0, Vr0) и показать их на рисунке.

7.   Определить траекторию переносного движения и показать её на рисунке.

8.   Показать на рисунке переносную скорость Vе и переносное ускорение aе в предположении, что точка имеет положительные координаты и движется в сторону увеличения этих координат ускоренно.

9.   Записать основное уравнение динамики относительного движения точки в общем виде: m·ar = Σ FiЕ + Σ RiЕ + Фе + Фс.

10.    Определить ускорение Кориолиса ac и показать его на рисунке.

11.    Определить кориолисову силу инерции Фс и отобразить её на рисунке.

12.    Определить переносное ускорение aе и переносную силу инерции Фе. Показать эти векторы на рисунке;

13.    Приложить к материальной точке активные силы FiЕ и реакции внешних связей RiЕ.

14.    Составить дифференциальные уравнения движения относительного движения точки, спроецировав векторное равенство m·ar = Σ FiЕ + Σ RiЕ + Фе + Фс на координатные оси подвижной системы отсчёта.

15.    Проинтегрировать составленные дифференциальные уравнения, определив постоянные интегрирования с помощью начальных условий движения.

16.    Определить искомые величины.

 

ПРИМЕЧАНИЕ.

При относительном криволинейном движении материальной точки удобно пользоваться дифференциальными уравнениями движения в проекциях на оси натурального триэдра.

 

3.5. Варианты курсового задания Д 2

«Исследование относительного движения

 материальной точки»

 

Шарик М, рассматриваемый как материальная точка, перемещается по цилиндрическому каналу движущегося тела А (табл. 3.1).

Тело А равномерно вращается вокруг неподвижной оси (в вариантах 2, 3, 4, 7, 10, 11, 14, 20, 23, 26 и 30 ось вращения O1Z1 вертикальна, в вариантах 1, 12, 15 и 25 ось вращения О1Х1 горизонтальна). В вариантах 5, 6, 8, 9, 13, 16, 17, 18, 19, 21, 22, 24, 27, 28 и 29 тело А движется поступательно, параллельно вертикальной плоскости O1Y1Z1.

В задании приняты следующие обозначения: m – масса шарика М;  – постоянная переносная угловая скорость тела А (в вариантах 1 – 4, 7, 10 – 12, 14, 15, 20, 23, 25, 26, 30);  – постоянная угловая скорость кривошипов О1В и О2С (в вариантах 6, 17, 22); с – коэффициент жёсткости пружины, к которой прикреплён шарик М; l0 – длина недеформированной пружины; f – коэффициент трения скольжения шарика по стенке канала; Х0,  – начальная координата и проекция начальной скорости на ось ОХ.