Теоретическая механика (стр. 31 )

Поскольку материальная точка К совершает сложное движение (перемещается по вращающемуся телу 1), то необходимо рассмотреть это движение в подвижной (ПСО) и неподвижной инерциальной (ИСО) системах отсчёта. Так как ПСО закреплена на теле 1, то она совершает вращательное движение.

Из курса кинематики известно, что абсолютная скорость точки в сложном движении равна

V = Vr + Ve,

где Vr – относительная скорость; Ve – переносная скорость.

Определим абсолютную скорость VС2 точки К.

В нашем случае траектория относительного движения точки – траектория её движения по Такой траекторией является дуга АВ окружности радиусом R. По условию задания уравнение относительного движения точки (OK = (5·π·R/6)·t1) известно. Зафиксируем положение точки К на траектории относительного движения в момент времени Т центральным углом α.

OK(T) = (5·π·R/6)·T = (5·π·R/6)·1 = (5·π·R/6).

α = OK(T)/R = (5·π·R/6)/R = 5·π/6 рад.

В градусной мере α = 150о. На рис. 5.15 покажем траекторию переносного движения точки К. Эта траектория есть окружность, расположенная в горизонтальной плоскости. Центр окружности находится на оси вращения. Радиус окружности определим по формуле

r = b – R·sin(π – α) = b – b·sin(α) =

= b·(1 – sin(α)) = b·(1 – 0,5) = 0,5·b.

Абсолютную скорость VС2 центра масс абсолютную скорость точки К) определим по формуле

VС2 = VС2r + VС2e,

где VС2r – относительная скорость; VС2e – переносная скорость.

По заданному уравнению относительного движения (ОК = S = S(t1)) определим проекцию VС2r относительной скорости точки на касательную к траектории её движения.

VС2r = dS/dt1 = d((5·π·R/6)·t1)/dt1 = 5·π·R/6 = const > 0.

Поскольку dS/dt1 > 0, то относительная скорость VС2r направлена в сторону увеличения дуговой координаты ОК = S (см. рис. 5.15). Необходимо отметить, что вектор скорости VС2r лежит в плоскости рисунка.

Модуль VС2e переносной скорости VС2e центра масс тела 2 определим по формуле

VС2e = r·I(T)I = 0,5·b·I(T)I,

где I(T)I – модуль угловой скорости  тела 1 в момент времени Т.

Вектор VС2e переносной скорости направлен перпендикулярно плоскости рис. 5.15 (параллельно оси О1Х1).

Абсолютное количество движения m2·VС2 тела 2 находим по формуле

m2·VС2 = m2·(VС2r + VС2e) = m2·VС2r + m2·VС2e,

где m2·VС2r, m2·VС2e – соответственно относительное и переносное количества движения.

Векторы m2·VС2r, m2·VС2e покажем на рис. 5.15.

Запишем теорему об изменении кинетического момента механической системы для рассматриваемого этапа расчета:

dLO1Z1/dt1 = ΣMO1Z1() + ΣMO1Z1().

Поскольку сумма моментов активных сил  относительно оси O1Z1 вращения равна нулю (ΣMO1Z1() = 0) и сумма моментов реакций  внешних связей относительно той же оси также равна нулю (ΣMO1Z1() = 0), то, следовательно, имеем dLO1Z1/dt1 = 0. Отсюда следует, что LO1Z1 = const, т. е. при движении механической системы её кинетический момент относительно оси не изменяется. Имеет место случай сохранения кинетического момента механической системы относительно оси O1Z1 её вращения. Исходя из этого, справедливо утверждение

LO1Z1(τ) = LO1Z1(Т),

где LO1Z1(τ), LO1Z1(Т) – кинетические моменты механической системы в расчётные моменты времени τ и Т.

В начальный момент времени (t10 = 0) имеем: угловая скорость прямоугольной пластины  (t) = – 3 рад/с; векторы количеств движения m2·VC2r, m2·VC2e направлены так, как это показано на рис. 5.15.

Кинетический момент LO1Z1(t10 = 0) механической системы в начальный момент времени определим по формуле

LO1Z1(t10 = 0) = 4,2· (t).

Кинетический момент LO1Z1(Т) механической системы в момент времени Т равен

LO1Z1(Т) = LO1Z1(1,T) + LO1Z1(2,T),

где LO1Z1(1,T), LO1Z1(2,T) – соответственно кинетические моменты тел 1 и 2 относительно оси вращения в момент времени Т.

LO1Z1(1,T) = 2,4·(Т).

LO1Z1(2,T) = m2·VС2e·r = (m2·((Т)·r))·r = m2·(Т)·r2 =

= m2·(T)·(0,5·b)2 = 5·(Т)·(0,5·0,6)2 = 0,45·(Т).

Тогда

LO1Z1(Т) = 2,4·(Т) + 0,45·(Т) = 2,85·(Т).

Так как кинетический момент механической системы относительно оси вращения постоянен, то

LO1Z1(t10 = 0) = 4,2 (t) = LO1Z1(Т) = 2,85·(Т).

Отсюда

(Т) = (4,2 (t))/2,85 = (4,2·(– 3))/2,85 = – 4,427 рад/с.

По сравнению с исходным положением расчёта третьего этапа, когда угловая скорость пластины была равна (t) = – 3 рад/с, в конце расчёта её угловая скорость уменьшилась до значения (Т) = – 4,427 рад/с. Модуль угловой скорости увеличился на 1,427 рад/с. Произошло это потому, что центр масс механической системы сместился к оси вращения. Очевидно, что угловая скорость пластины достигнет максимального значения в момент времени, когда точка К будет находиться на оси вращения.

Таким образом, ответ на другой вопрос ((Т) = ?) курсового задания получен.

 

Вопросы и задания для самоконтроля

 

1.    Сформулировать определение понятия «момент количества движения точки относительно произвольного центра».

2.    Сформулировать определение понятия «плечо вектора количества движения точки относительно произвольного центра».

3.    Сформулировать определение понятия «момент количества движения точки относительно оси».

4.    Записать формулы для определения моментов количества движения точки относительно координатных осей.

5.    Записать в векторной форме формулу, выражающую теорему об изменении момента количества движения материальной точки.

6.    Записать в скалярном виде формулу, выражающую теорему об изменении момента количества движения материальной точки.

7.    Сформулировать определение понятия «центральная сила».

8.    Сформулировать определение понятия «кинетический момент механической системы относительно центра».

9.    Сформулировать определение понятия «кинетический момент механической системы относительно оси».

10.    Записать в скалярном виде формулы, выражающие теорему об изменении кинетического момента механической системы относительно координатных осей.

11.    Сформулировать следствия из теоремы об изменении кинетического момента механической системы относительно координатных осей.

 

5.4. Динамика движений твёрдого тела

 

5.4.1. Динамика поступательного движения твёрдого тела

 

Поступательным движением твёрдого тела называют такое его движение, при котором любая прямая линия, проведённая на теле, остается во всё время движения параллельной своему начальному положению.

 

Рассмотрим поступательное движение твёрдого тела на плоскости в инерциальной системе отсчёта OXYZ под действием активных сил  и реакций  внешних связей (рис. 5.16).

Из курса кинематики известно, что при поступательном движении твёрдого тела траектории всех его точек одинаковы (при наложении друг на друга траектории движения точек совпадают), а скорости и ускорения всех точек геометрически равны.