Теоретическая механика (стр. 12 )

Введем условные обозначения: α/m = 2n; c/m = k2. С учетом коэффициентов n, k дифференциальное уравнение движения приводится к стандартному виду:

 + 2n· + k2·Y = 0,

где n – коэффициент, характеризующий сопротивление среды и имеющий размерность [рад/с] или [c-1].

В зависимости от соотношения величин n и k материальная точка может совершать или колебательное, или апериодическое (не колебательное) движение.

 

2.4. Затухающие колебания материальной точки

 

Рассмотрим первый вариант движения точки, при котором n < k. В этом варианте общее решение дифференциального уравнения имеет два вида:

Y = (e-nt)·(C1·cos(()·t) + C2·sin(()·t));

Y = a·(e-nt)·sin(()·t + β),

где С1, С2, a, β – постоянные интегрирования, определяемые по начальным условиям движения.

Эти выражения называют уравнениями затухающих колебаний материальной точки.

Пусть начальными условиями движения являются: t0 = 0; Y0; . В этих условиях первый вид решения дифференциального уравнения  + 2n· + k2·Y = 0 выражается формулой

Y = (e-nt)·(Y0·cos(()·t) +

+ ·sin(()·t)).

Постоянную величину  называют циклической частотой затухающих колебаний k*, величину которой определяют по формуле

k* = .

Величина k* определяет число полных колебаний за промежуток времени, равный 2π = 6,28 с. Тогда имеем

Y = (e-nt)·(Y0·cos(k*·t) + ((+ n·Y0)/k*)·sin(k*·t)).

Как правило, для практических расчётов используют второй вид общего решения дифференциального уравнения движения точки.

Y = a·(e-nt)·sin(k*·t + β),

где (k*·t + β) – фаза затухающих колебаний; β – начальная фаза; a – постоянная интегрирования.

Для определения постоянных интегрирования a и β используют следующую совокупность формул:

а =

tg(β) = (Y0·k*)/();

sin(β) = Y0/ a;

cos(β) = ()/(а·k*).

Для характеристики затухающих колебаний используют понятие «период затухающих колебаний Т*».

 

Период затухающих колебаний – промежуток времени между двумя последовательными прохождениями точки в одном направлении через положение покоя.

 

Период затухающих колебаний ( = 2π/k*) больше периода свободных колебаний (T = 2π/k) точки.

На рис. 2.5 приведён общий вид графика затухающих колебаний.

На рис. 2.5 использованы начальные условия движения точки, приведённые на рис. 2.4. График затухающих колебаний располагается в зоне, ограниченной двумя кривыми линиями, описываемыми математическими выражениями: Y = а·e-nt; Y = – а·e-nt.

Для характеристики затухающих колебаний используют также понятие «амплитуда аi затухающих колебаний».

 

 

Амплитуда затухающих колебаний – величина наибольшего отклонения точки в ту или другую сторону от положения статического равновесия в течение каждого колебания.

Из рис. 2.5 видно, что амплитуда затухающих колебаний переменна. При этом последующая амплитуда аi+1 меньше предыдущей амплитуды аi. Это уменьшение характеризуется отношением

аi+1/ аi = e– nT*/2 = const.

Число e– nT*/2 называют декрементом колебаний; натуральный логарифм этого числа (ln(e– nT*/2)), т. е. величину – nT*/2, называют логарифмическим декрементом.

Зная предыдущее значение аi амплитуды, последующее значение аi+1 находят по формуле

аi+1 = аi·e– nT*/2.

Следует отметить, что в некоторых учебниках коэффициент n сопротивления среды называют коэффициентом затухания.

Практика показывает, что затухание колебаний происходит очень быстро даже при малом сопротивлении. Так, например, при n = 0,05·k имеем Т*= 1,00125·Т, e–nT* = 0,7301, т. е. период Т* затухающих колебаний отличается от периода Т свободных колебаний лишь на 0,125 %, а амплитуда аi за время одного полного колебания уменьшается на 0,27 своей величины, и после 10 полных колебаний становится равной 0,043 своего первоначального значения.

Таким образом, основное влияние сопротивления на свободные колебания материальной точки выражается в уменьшении амплитуды колебаний с течением времени, т. е. в затухании колебаний.

Затухающие колебания называют также колебаниями с малым сопротивлением внешней среды.

 

2.5. Апериодическое движение точки

 

Рассмотрим второй вариант движения точки, при котором n = k. В таком варианте движение точки теряет колебательный характер и становится апериодическим. В этом случае общее решение дифференциального уравнения

 + 2n· + k2·Y = 0

имеет вид

Y = (e-nt)·(C1·t + C2),

где С1, С2 – постоянные интегрирования, которые находятся по начальным условиям движения точки. Пусть при t0 = 0 точка имеет координату Y0 и проекцию  скорости V0 на ось ОY. С использование начальных условий уравнение апериодического движения точки имеет вид

Y = (e-nt)·(Y0+(+ n·Y0)·t).

В зависимости от начальных условий материальная точка может совершать одно из движений, графики которых показаны на рис. 2.6 – 2.8. Эти графики соответствуют начальному отклонению точки от положения статического равновесия на величину  > 0.

На рис. 2.6 показан график движения точки с начальной скоростью V0, имеющей направление, совпадающее с направлением положительного отсчета координаты Y. Начальные условия этого движения изображены на рис. 2.4.

Так как проекция  > 0, то точка сначала удаляется от положения статического равновесия, а затем под действием восстанавливающей силы постепенно приближается к этому положению.

Графики (см. рис. 2.7 и 2.8) соответствуют движению точки с начальной скоростью V0, направленной противоположно направлению отсчета координаты Y, т. е. имеем: Y0 > 0;  < 0.

 

При достаточно большом значении начальной скорости V0 точка может совершить один переход через положение статического равновесия и затем при обратном движении приближаться к этому положению (см. рис. 2.7).

При начальных условиях (Y0 > 0;  = 0) график функции Y = f(t) имеет вид, приведенный на рис. 2.8.

Рассмотрим вариант движения точки, при котором n > k. При таком варианте точка совершает апериодическое движение, описываемое уравнением

Y = (e-nt)·(C1·)·t + C2·)·t),

где С1, С2 – постоянные интегрирования, определяемые по начальным условиям движения.

Графики движения точки в этом случае по существу не отличаются от графиков, приведенных на рис. 2.6 – 2.8.

Таким образом, если n = k или n > k, то точка совершает апериодическое движение. Такое движение называют также движением точки с большим сопротивлением внешней среды.

 

2.6. Вынужденные колебания материальной

точки под действием постоянной системы сил,

восстанавливающей силы и возмущающей силы

 

Практически наиболее важным является случай, при котором возмущающая сила Q изменяется по гармоническому закону, т. е. проекцию QOY этой силы на ось ОY определяют по закону

QOY = H·sin(p·t + δ),